Московский государственный университет печати

Силенко П.Н.


         

Теоретическая механика

Конспект лекций для студентов вузов, обучающихся по специальности 170800 "Полиграфические машины и автоматизированные комплексы"


Силенко П.Н.
Теоретическая механика
Начало
Печатный оригинал
Об электронном издании
Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

1.

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1.

Предмет статики

1.2.

Сила

1.3.

Аксиомы статики

1.4.

Связи и их реакции. Аксиома связей

2.

Глава 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

2.1.

Проекция силы на ось и на плоскость

2.2.

Аналитически способ задания и сложения сил

2.3.

Геометрический способ сложения сил

2.4.

Теорема о трех силах

2.5.

Равнодействующая сходящихся сил и условие их равновесия

2.6.

Момент силы относительно центра

2.7.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

2.8.

Задачи

3.

Глава 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ И ПАРЫ СИЛ

3.1.

Сложение и разложение параллельных сил

3.2.

Пара сил. Момент пары

3.3.

Сложение пар. Условия равновесия пар

3.4.

Задачи

4.

Глава 4. СИСТЕМА СИЛ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННАЯ НА ПЛОСКОСТИ

4.1.

Теорема о параллельном переносе силы

4.2.

Приведение плоской системы сил к данному центру (простейшему виду)

4.3.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил

4.4.

Задачи

5.

ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ СИЛ И ПАР ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

5.1.

Момент силы как вектор. Моменты силы относительно центра и оси

5.2.

Приведение пространственной системы к данному центру (простейшему виду)

5.3.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

5.4.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси

5.5.

Задачи

6.

Глава 6. ТРЕНИЕ

6.1.

Законы трения скольжения

6.2.

Реакции шероховатых связей

6.3.

Равновесие при наличии трения

6.4.

Другие виды трения

6.5.

Задачи

7.

Глава 7. СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

7.1.

Центр параллельных сил

7.2.

Центр тяжести

7.3.

Координаты центров тяжести однородных тел

7.4.

Задачи

8.

КИНЕМАТИКА
Глава 8. ВВЕДЕНИЕ. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

8.1.

Предмет кинематики

8.2.

Способы задания движения точки

8.3.

Скорость точки

8.4.

Ускорение точки

8.5.

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

8.6.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

8.7.

Частные случаи движения точки

8.8.

Задачи

9.

Глава 9. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

9.1.

Поступательное движение

9.2.

Вращательное движение твердого тела

9.3.

Скорость и ускорение точек вращающегося тела

9.4.

Задачи

10.

Глава 10. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

10.1.

Уравнения движения

10.2.

Скорости точек тела. Мгновенный центр скоростей

10.3.

Ускорения точек тела. Мгновенный центр ускорений

10.4.

Задачи

11.

Глава 11. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

11.1.

Относительное, переносное и абсолютное движения

11.2.

Сложение скоростей

11.3.

Сложение ускорений

11.4.

Задачи

12.

Глава 12. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

12.1.

Сложение поступательных движений

12.2.

Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

12.3.

Задачи

13.

ДИНАМИКА
Глава 13. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ТОЧКИ

13.1.

Предмет динамики и законы динамики

13.2.

Дифференциальные уравнения движения точки

13.3.

Криволинейное движение точки

13.4.

Задачи

14.

Глава 14. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

14.1.

Теорема об изменении количества движения точки

14.2.

Работа сил

14.3.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

14.4.

Теорема моментов для точки

14.5.

Задачи

15.

Глава 15. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

15.1.

Основные понятия

15.2.

Центр масс системы

15.3.

Моменты инерции тела и Теорема Гюйгенса

15.4.

Задачи

16.

Глава 16. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

16.1.

Дифференциальные уравнения движения системы

16.2.

Теорема о движении центра масс системы

16.3.

Закон сохранения движения центра масс системы

16.4.

Задачи

17.

Глава 17. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

17.1.

Теорема об изменении количества движения системы

17.2.

Закон сохранения количества движения

17.3.

Задачи

18.

Глава 18. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

18.1.

Главный момент количеств движения системы

18.2.

Теорема моментов для системы

18.3.

Закон сохранения главного момента количеств движения системы

18.4.

Задачи

19.

Глава 19. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

19.1.

Кинетическая энергия системы. Работа. Мощность

19.2.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

19.3.

Потенциальная энергия

19.4.

Закон сохранения механической энергии

19.5.

Задачи

20.

Глава 20. ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

20.1.

Принцип Даламбера

20.2.

Принцип возможных перемещений

20.3.

Общее уравнение динамики

20.4.

Задачи

21.

Глава 21. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

21.1.

Обобщенные координаты и скорости

21.2.

Обобщенные силы

21.3.

Уравнения Лагранжа

21.4.

Задачи

Указатели
199   указатель иллюстраций
Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16 Рис. 17 Рис. 18 Рис. 19 Рис. 20 Рис. 21 Задача 2.8.2 Задача 2.8.3 Задача 2.8.4

Скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы называется проекцией силы на ось.

Знак плюс проекция имеет, если перемещение от начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус если в отрицательном.

Таким образом, проекции данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу.

Проекция силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
на ось Ох обозначается как <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(рис. 12 Рис. 12).

Следуя рисунку 12 и определению получаем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

To есть проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на эту ось равна нулю.

Проекцией силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
на плоскость Оху называется вектор <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость (рис. 13 Рис. 13).

Проекция силы на плоскость есть величина векторная и характеризуется как модулем, так и направлением в плоскости Оху. Модуль проекции силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
на плоскость Оху выражается как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Тогда проекции на оси Ох и Оу:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Выберем систему координат Oxyz. Вектор <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
можно построить, зная модуль <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и углы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
между вектором и соответствующими осями (рис. 14 Рис. 14).

Задание этих величин и определяет силу <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Точка приложения силы должна быть задана дополнительно координатами х, у, z. Кроме того, силу можно задавать проекциями на оси <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Тогда

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Эти формулы позволяют, зная проекции силы на оси координат найти ее модуль и углы с осями, т.е. определить силу. Зная проекции, можно построить вектор геометрически.

Для плоскости формулы (2.2.1) и (2.2.2) запишутся

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Построение в плоскости производится по 4-й аксиоме статики.

Рассмотрим теперь аналитический способ сложения сил. Зависимость между векторами и их проекциями дает следующая теорема:

Проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось (рис. 15 Рис. 15).

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Данные соотношения позволяют складывать силы аналитически. Можно заметить идентичность формул (2.2.1)-(2.2.4) и (2.2.9)-(2.2.11).

Решение задач в статике часто связано с операцией сложения из векторной алгебры. Вспомним старые приемы и введем некоторые определения.

Величина, равная геометрической сумме сил какой-либо системы, называется главным вектором системы.

Геометрическую сумму сил не следует смешивать с равнодействующей. Для многих систем сил равнодействующей не существует, а главный вектор можно вычислить для любой.

Рассмотрим сложение двух сил на плоскости. Геометрическая сумма <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
находится по правилу параллелограмма построением силового треугольника (рис. 16 Рис. 16).

Модуль R равнодействующей определяем как сторону <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
треугольника <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

углы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
находим по теореме синусов, учитывая, что <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, получаем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

В продолжение геометрического способа сложения сил, напомним о сложении трех сил не лежащих в оной плоскости.

Геометрическая сумма <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
трех сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, не лежащих в одной плоскости изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах (рис. 17 Рис. 17).

Здесь необходимо подчеркнуть полную аналогию рисунков 14 и 17, где в роли <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
выступает <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, а в роли <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
соответственно <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Coответственно мы можем использовать формулы (2.2.1-2.2.4).

Рассматривая плоскую систему сходящихся сил необходимо рассмотреть и положение такой системы сил.

Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется построением силового многоугольника или последовательным сложением сил системы. Пусть дана система <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
сходящихся сил (рис. 18 Рис. 18).

Для построения силового многоугольника выбираем произвольную точку О и переносим в нее начало <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, затем переносим в конец вектора <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
начало <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и т.д. после переноса вектора <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
конец вектора будет в некоторой точке N. Соединяем точки О и N вектором <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Этот замыкающий вектор и будет главным вектором системы.

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

При последовательном сложении сил (рис. 18, а) все они переносятся вдоль линий действия в точку пересечения А. Последовательно, по правилу параллелограмма, складываются силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
получается вектор <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

который представляет собой равнодействующую, равную главному вектору всех сил и приложенную в точке их пересечения.

Линии действия трех непараллельных взаимно уравновешивающихся сил, лежащих в одной плоскости пересекаются в одной точке.

Пусть даны силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Так как они лежат в одной плоскости и не параллельны то линии их действия пересекутся в некоторой точке О. Приложим силы в этой точке и заменим их равнодействующей <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.Тогда есть две силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
приложенные в точке О (рис. 19 Рис. 19).

Если тело находится в равновесии то согласно 1-й теореме статики <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
должны быть наплавлены вдоль одной прямой, т.е. <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Следовательно, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
проходит через точку А. Что и требовалось доказать.

Теорема является необходимым, но недостаточным доказательством условия равновесия свободного твердого тела под действием трех сил.

Как было определено, сходящимися силами называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. Учитывая теорему о трех силах и аксиому параллелограмма сил, получаем, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения. Построение или определение равнодействующей было осуществлено в параграфе 2 этой главы (см. формулы 2.3.3, 2.3.4).

Определив равнодействующую, мы можем перейти к определению условий равновесия свободного твердого тела под действием системы сходящихся сил.

Если на тело действует уравновешенная система сил, то тело находится в покое или совершает движение по инерции.

Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым должны удовлетворять эти силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.

1) Геометрическое условие равновесия.

Так как равнодействующая <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
сходящихся сил определяется как замыкающий вектор силового многоугольника, то <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
может обратиться в нуль тогда, когда многоугольник замкнется. То есть, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут.

2) Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая определяется как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Так как под корнем стоит сумма положительных чисел, то R будет равна нулю тогда и только тогда, когда одновременно <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

То есть, одновременно будет выполняться равенства

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Это условия равновесия свободного твердого тела под действием системы сходящихся сил.

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на координатные оси были равны нулю.

Для плоской системы сходящихся сил уравнения (2.5.3) редуцируются в следующие:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Наряду с поступательным движением твердое тело может совершать вращение вокруг центра (точки).

Вращение характеризуется моментом силы.

Пусть сила <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
приложена в точке А. Она стремится повернуть тело вокруг неподвижного центра О (рис. 20 Рис. 20). Перпендикуляр h опущенный из точки О на линию действия силы называется плечом силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
относительно центра О.

Так как точку приложения силы можно перемещать вдоль линии действия силы, то вращение тела будет зависеть от:

1) модуля силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и плеча h.

2) положения плоскости ОАВ,

3) направления поворота в этой плоскости.

Пусть вся система сил лежит в одной плоскости, тогда направление можно охарактеризовать знаком. Дадим следующее определение момента силы:

Моментом силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча.

Обозначается момент силы как <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Знак плюс выбираем если сила старается повернуть тело против ходя часовой стрелки, в противном случае берем знак минус.

Единицы измерения: <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(ньютон на метр), <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(килограмм на метр).

Свойства момента силы:

1) момент силы не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия;

2) момент силы равен нулю, тогда и только тогда, когда сила равна нулю, или ее линия действия проходит через центр О. (h = 0).

3) момент силы численно равен удвоенной площади треугольника ОАВ.

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.

Рассмотрим систему сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
сходящихся в точке А (рис. 21 Рис. 21).

Выберем произвольный центр О и проведем через него ось Ох перпендикулярную отрезку ОА.

Найдем выражения для моментов <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и т.д.

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Это математическое выражение теоремы Вариньона.

2.8.1

Определить модуль равнодействующей двух равных по модулю сходящихся сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, образующих между собой угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. (9,24)

2.8.2

Определить угол в градусах между равнодействующей двух сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и осью Ох, если угол<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Задача 2.8.2. (56,3)

2.8.3

Равнодействующая <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
двух равных по модулю сходящихся сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
направлена по оси Оу и равна по модулю 10 Н. Определить в градусах угол а, образованный вектором силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
с положительным направлением оси Ох Задача 2.8.3. (19,5)

2.8.4

На твердое тело в точке О действует плоская система сходящихся сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить сумму проекций заданных сил на ось Оу, если заданы углы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Задача 2.8.4. (-3,22)

2.8.5

Для плоской системы сходящихся сил (Н): <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, определить модуль равнодействующей силы. (7,35)

2.8.6

Равнодействующая сходящихся сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
равна по модулю R = 8 Н и образует с горизонтальной осью Ох угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Вектор силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, направлен по оси Ох, а вектор силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
образует с этой осью угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить модуль силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. (4,62)

2.8.7

Плоская система трех сходящихся сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
находится в равновесии. Заданы модули сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, а также углы, образованные векторами сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
с положительным направлением горизонтальной оси Ох, соответственно равные <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить модуль силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. (4,84)

2.8.8

Задана проекция <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
равнодействующей двух сходящихся сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
на горизонтальную ось Ох. Проекция силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
на эту же ось <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить алгебраическое значение проекции на ось Ох силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. (-2)

© Центр дистанционного образования МГУП