|
|||||||
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15
Рис. 16
Рис. 17
Рис. 18
Рис. 19
Рис. 20
Рис. 21
Задача 2.8.2
Задача 2.8.3
Задача 2.8.4
2.
Глава 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
2.1.
Проекция силы на ось и на плоскость
Скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы называется проекцией силы на ось. Знак плюс проекция имеет, если перемещение от начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус если в отрицательном. Таким образом, проекции данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу. Проекция силы Следуя рисунку 12 и определению получаем
To есть проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси. Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на эту ось равна нулю. Проекцией силы Проекция силы на плоскость есть величина векторная и характеризуется как модулем, так и направлением в плоскости Оху. Модуль проекции силы
Тогда проекции на оси Ох и Оу:
2.2.
Аналитически способ задания и сложения сил
Выберем систему координат Oxyz. Вектор Задание этих величин и определяет силу
Эти формулы позволяют, зная проекции силы на оси координат найти ее модуль и углы с осями, т.е. определить силу. Зная проекции, можно построить вектор геометрически. Для плоскости формулы (2.2.1) и (2.2.2) запишутся
Построение в плоскости производится по 4-й аксиоме статики. Рассмотрим теперь аналитический способ сложения сил. Зависимость между векторами и их проекциями дает следующая теорема: Проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось (рис. 15
Данные соотношения позволяют складывать силы аналитически. Можно заметить идентичность формул (2.2.1)-(2.2.4) и (2.2.9)-(2.2.11). 2.3.
Геометрический способ сложения сил
Решение задач в статике часто связано с операцией сложения из векторной алгебры. Вспомним старые приемы и введем некоторые определения. Величина, равная геометрической сумме сил какой-либо системы, называется главным вектором системы. Геометрическую сумму сил не следует смешивать с равнодействующей. Для многих систем сил равнодействующей не существует, а главный вектор можно вычислить для любой. Рассмотрим сложение двух сил на плоскости. Геометрическая сумма Модуль R равнодействующей определяем как сторону
углы
В продолжение геометрического способа сложения сил, напомним о сложении трех сил не лежащих в оной плоскости. Геометрическая сумма Здесь необходимо подчеркнуть полную аналогию рисунков 14 и 17, где в роли Рассматривая плоскую систему сходящихся сил необходимо рассмотреть и положение такой системы сил. Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется построением силового многоугольника или последовательным сложением сил системы. Пусть дана система Для построения силового многоугольника выбираем произвольную точку О и переносим в нее начало
При последовательном сложении сил (рис. 18, а) все они переносятся вдоль линий действия в точку пересечения А. Последовательно, по правилу параллелограмма, складываются силы
который представляет собой равнодействующую, равную главному вектору всех сил и приложенную в точке их пересечения. 2.4.
Теорема о трех силах
Линии действия трех непараллельных взаимно уравновешивающихся сил, лежащих в одной плоскости пересекаются в одной точке. Пусть даны силы Если тело находится в равновесии то согласно 1-й теореме статики Теорема является необходимым, но недостаточным доказательством условия равновесия свободного твердого тела под действием трех сил. 2.5.
Равнодействующая сходящихся сил и условие их равновесия
Как было определено, сходящимися силами называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. Учитывая теорему о трех силах и аксиому параллелограмма сил, получаем, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения. Построение или определение равнодействующей было осуществлено в параграфе 2 этой главы (см. формулы 2.3.3, 2.3.4). Определив равнодействующую, мы можем перейти к определению условий равновесия свободного твердого тела под действием системы сходящихся сил. Если на тело действует уравновешенная система сил, то тело находится в покое или совершает движение по инерции. Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым должны удовлетворять эти силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме. 1) Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая 2) Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая определяется как
Так как под корнем стоит сумма положительных чисел, то R будет равна нулю тогда и только тогда, когда одновременно То есть, одновременно будет выполняться равенства
Это условия равновесия свободного твердого тела под действием системы сходящихся сил. Для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на координатные оси были равны нулю. Для плоской системы сходящихся сил уравнения (2.5.3) редуцируются в следующие:
2.6.
Момент силы относительно центра
Наряду с поступательным движением твердое тело может совершать вращение вокруг центра (точки). Вращение характеризуется моментом силы. Пусть сила Так как точку приложения силы можно перемещать вдоль линии действия силы, то вращение тела будет зависеть от: 1) модуля силы 2) положения плоскости ОАВ, 3) направления поворота в этой плоскости. Пусть вся система сил лежит в одной плоскости, тогда направление можно охарактеризовать знаком. Дадим следующее определение момента силы: Моментом силы Обозначается момент силы как
Знак плюс выбираем если сила старается повернуть тело против ходя часовой стрелки, в противном случае берем знак минус. Единицы измерения: Свойства момента силы: 1) момент силы не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия; 2) момент силы равен нулю, тогда и только тогда, когда сила равна нулю, или ее линия действия проходит через центр О. (h = 0). 3) момент силы численно равен удвоенной площади треугольника ОАВ. 2.7.
Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра. Рассмотрим систему сил Выберем произвольный центр О и проведем через него ось Ох перпендикулярную отрезку ОА. Найдем выражения для моментов
Это математическое выражение теоремы Вариньона. 2.8.
Задачи
2.8.1 Определить модуль равнодействующей двух равных по модулю сходящихся сил 2.8.2 Определить угол в градусах между равнодействующей двух сил 2.8.3 Равнодействующая 2.8.4 На твердое тело в точке О действует плоская система сходящихся сил 2.8.5 Для плоской системы сходящихся сил (Н): 2.8.6 Равнодействующая сходящихся сил 2.8.7 Плоская система трех сходящихся сил 2.8.8 Задана проекция |
|||||||
|
|||||||
© Центр дистанционного образования МГУП |