Московский государственный университет печати

Силенко П.Н.


         

Теоретическая механика

Конспект лекций для студентов вузов, обучающихся по специальности 170800 "Полиграфические машины и автоматизированные комплексы"


Силенко П.Н.
Теоретическая механика
Начало
Печатный оригинал
Об электронном издании
Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

1.

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1.

Предмет статики

1.2.

Сила

1.3.

Аксиомы статики

1.4.

Связи и их реакции. Аксиома связей

2.

Глава 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

2.1.

Проекция силы на ось и на плоскость

2.2.

Аналитически способ задания и сложения сил

2.3.

Геометрический способ сложения сил

2.4.

Теорема о трех силах

2.5.

Равнодействующая сходящихся сил и условие их равновесия

2.6.

Момент силы относительно центра

2.7.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

2.8.

Задачи

3.

Глава 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ И ПАРЫ СИЛ

3.1.

Сложение и разложение параллельных сил

3.2.

Пара сил. Момент пары

3.3.

Сложение пар. Условия равновесия пар

3.4.

Задачи

4.

Глава 4. СИСТЕМА СИЛ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННАЯ НА ПЛОСКОСТИ

4.1.

Теорема о параллельном переносе силы

4.2.

Приведение плоской системы сил к данному центру (простейшему виду)

4.3.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил

4.4.

Задачи

5.

ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ СИЛ И ПАР ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

5.1.

Момент силы как вектор. Моменты силы относительно центра и оси

5.2.

Приведение пространственной системы к данному центру (простейшему виду)

5.3.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

5.4.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси

5.5.

Задачи

6.

Глава 6. ТРЕНИЕ

6.1.

Законы трения скольжения

6.2.

Реакции шероховатых связей

6.3.

Равновесие при наличии трения

6.4.

Другие виды трения

6.5.

Задачи

7.

Глава 7. СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

7.1.

Центр параллельных сил

7.2.

Центр тяжести

7.3.

Координаты центров тяжести однородных тел

7.4.

Задачи

8.

КИНЕМАТИКА
Глава 8. ВВЕДЕНИЕ. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

8.1.

Предмет кинематики

8.2.

Способы задания движения точки

8.3.

Скорость точки

8.4.

Ускорение точки

8.5.

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

8.6.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

8.7.

Частные случаи движения точки

8.8.

Задачи

9.

Глава 9. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

9.1.

Поступательное движение

9.2.

Вращательное движение твердого тела

9.3.

Скорость и ускорение точек вращающегося тела

9.4.

Задачи

10.

Глава 10. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

10.1.

Уравнения движения

10.2.

Скорости точек тела. Мгновенный центр скоростей

10.3.

Ускорения точек тела. Мгновенный центр ускорений

10.4.

Задачи

11.

Глава 11. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

11.1.

Относительное, переносное и абсолютное движения

11.2.

Сложение скоростей

11.3.

Сложение ускорений

11.4.

Задачи

12.

Глава 12. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

12.1.

Сложение поступательных движений

12.2.

Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

12.3.

Задачи

13.

ДИНАМИКА
Глава 13. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ТОЧКИ

13.1.

Предмет динамики и законы динамики

13.2.

Дифференциальные уравнения движения точки

13.3.

Криволинейное движение точки

13.4.

Задачи

14.

Глава 14. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

14.1.

Теорема об изменении количества движения точки

14.2.

Работа сил

14.3.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

14.4.

Теорема моментов для точки

14.5.

Задачи

15.

Глава 15. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

15.1.

Основные понятия

15.2.

Центр масс системы

15.3.

Моменты инерции тела и Теорема Гюйгенса

15.4.

Задачи

16.

Глава 16. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

16.1.

Дифференциальные уравнения движения системы

16.2.

Теорема о движении центра масс системы

16.3.

Закон сохранения движения центра масс системы

16.4.

Задачи

17.

Глава 17. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

17.1.

Теорема об изменении количества движения системы

17.2.

Закон сохранения количества движения

17.3.

Задачи

18.

Глава 18. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

18.1.

Главный момент количеств движения системы

18.2.

Теорема моментов для системы

18.3.

Закон сохранения главного момента количеств движения системы

18.4.

Задачи

19.

Глава 19. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

19.1.

Кинетическая энергия системы. Работа. Мощность

19.2.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

19.3.

Потенциальная энергия

19.4.

Закон сохранения механической энергии

19.5.

Задачи

20.

Глава 20. ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

20.1.

Принцип Даламбера

20.2.

Принцип возможных перемещений

20.3.

Общее уравнение динамики

20.4.

Задачи

21.

Глава 21. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

21.1.

Обобщенные координаты и скорости

21.2.

Обобщенные силы

21.3.

Уравнения Лагранжа

21.4.

Задачи

Указатели
199   указатель иллюстраций
Рис. 22 Рис. 23 Рис. 24 Рис. 25 Рис. 26 Рис. 27 Задача 3.4.1 Задача 3.4.2 Задача 3.4.3 Задача 3.4.5 Задача 3.4.6 Задача 3.4.7 Задача 3.4.8 Задача 3.4.9 Задача 3.4.10 Задача 3.4.11

Пусть на тело действуют две параллельные направленные в одну сторону силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
приложенные в точках А и В.

Согласно 1-й и 2-й аксиомам статики перейдем отданной системы параллельных сил к эквивалентной системе сходящихся сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. (рис. 22 Рис. 22)

Для этого приложим в точка А и В две уравновешивающие силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
направленные вдоль прямой АВ и сложим их с силами <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
по правилу параллелограмма. Полученные силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
перенесем в точку О, где пересекаются их линии действия и разложим на первоначальные составляющие. Силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
отбросим (по 2-й аксиоме статики) и останутся две направленные по одной прямой силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Эти силы переносим в точку С и заменяем равнодействующей <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
модуль которой равен:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Для определения положения точки С рассмотрим треугольники ОаК, ОАС, ОСВ, Оbm. Из подобия

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

т.к. <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Далее учитывая свойства пропорций, уравнение (3.1.1) и то, что

BC+AC=AB

получаем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Рассмотрим случай сложения параллельных сдал направленных в разные стороны.

Пусть <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. (рис. 23 Рис. 23)

Выберем на продолжении прямой АВ точку С и приложим к ней уравновешенные силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
которые параллельны <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Положение точки С и модули сил выберем таким образом, чтобы удовлетворялись соотношения

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Складываем силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, согласно (3.1.1) и (3.1.4), получим их равнодействующую <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
равную по модулю <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то есть модулю <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и приложенную в точке А. То есть силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
оказались уравновешенными и их можно отбросить.

В итоге силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
заменяются одной силой <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, которая и является их равнодействующей. Точка приложения С равнодействующей и ее модуль определяются формулами (3.1.5), (3.1.6).

С помощью формул (3.1.1.) - (3.1.6) можно решать задачу о разложении силы на две ей параллельные. Задача будет определенной при задании дополнительных условий.

Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
называется парой сил.

Система не находится в равновесии, но и не имеет равнодействующей.

Плоскость, проходящая через линии действия сил называют плоскостью действия пары (рис. 24 Рис. 24).

Расстояние d между линиями действия сил пары называют плечом пары.

Действие пары сил на твердое тело сводится к вращательному эффекту и зависит от:

1) модуля F и длины плеча d;

2) положения плоскости пары;

3) направления поворота в этой плоскости.

Для характеристики этого вращательного эффекта вводится понятие момент пары.

Моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо.

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Момент пары условимся считать положительным (+), если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным (-) - когда по ходу часовой стрелки.

Обозначение момента пары m или М без индекса имеет свой смысл, так как момент пары нельзя смешивать с моментом силы относительно центра и этот центр указывается в индексе (например: <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
). Момент же пары определяется только силами и плечом.

Действие пары сил, как уже указывалось выше, характеризуется тремя условиями. При характеристике пар необходимо задавать все три значения. Но мы знаем, что вектор-нормаль к плоскости задает значения второго и третьего условия. Если мы теперь пронормируем вектор-нормаль значением момента пары, то все три условия будут выполнены. Эти соображения и позволили рассматривать момент пары как вектор.

Будем изображать момент пары вектором <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
или <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, модуль которого равен модулю момента пары, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары, в ту сторону откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 25 Рис. 25).

Если рассматривать только пары лежащие в одной плоскости, то вместо вектора момента пары, можно стрелкой указывать только направлением поворота.

Вектор <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
на рис. 25 условно изображен выходящим из точек В и D, однако он может изображаться выходящим из середины АВ или CD или из произвольной точки плоскости действия пары, так как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Рассмотрим первоначально систему пар лежащих в одной плоскости.

Теорема: Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же плоскости и имеющей момент, равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Пусть на тело действуют три пары сил с моментами <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(рис. 26 Рис. 26)

Используя теорему об эквивалентности пар, заменяем эти пары эквивалентными другими парами <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, имеющими общее плечо d и такие же моменты

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Сложив отдельно силы получим:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Вся система заменится одной парой <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
с моментом

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Обобщая эту формулу на n-пар получим:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равна нулю:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

При сложении пар в пространстве достаточно будет рассмотреть две пары.

Теорема: Любая система пар, действующая на твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Итак, пусть даны две пары с моментами m1 и m2, лежащие в плоскостях I и II (рис. 27 Рис. 27)

Складываем силы в точках А и В:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

и убеждаемся, что пары <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
заменяются одной парой <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Найдем момент <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
этой пары

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Если на тело действует л пар с моментами <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Геометрически вектор <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- это замыкающий вектор силового многоугольника.

Если векторы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
лежат в разных плоскостях, то можно ввести систему координат Oxyz и находить <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
аналитически:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Условия равновесия твердого тела под действием пространственной системы пар, запишутся:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

3.4.1

На плиту в ее плоскости действуют две пары сил. Определить сумму моментов этих пар, если сила F = 8 Н, Q = 5 Н, расстояния АВ = 0,25 м, CD = 0,20 м, углы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Задача 3.4.1. (0,792)

3.4.2

На арку ABC действуют пара сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и сила <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 2 Н. Определить сумму их моментов относительно точки В, если сила <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 3 Н, радиус r = 1 м, плечо DE = 1,2 м, угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Задача 3.4.2. (5,01)

3.4.3

На арку АВ действуют пара сил F1,F'1 и сила F . Определить сумму их моментов относительно точки А, если силы F = 4 Н, F1 = 2 Н, радиус r = 2 м, плечо CD = 1,5 м Задача 3.4.3. (-11,0)

3.4.4

На закрепленную балку действует плоская система параллельных сил. Сколько независимых уравнений равновесия балки можно составить? (2)

3.4.5

На брус ВС, закрепленный в шарнире А, действуют вертикальные силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 4 кН и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить силу <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
в кН, необходимую для того, чтобы брус в положении равновесия был горизонтальным, если расстояния АС = 2 м,АВ = 6 м Задача 3.4.5. (12,0)

3.4.6

Балка АЕ шарнирно закреплена в точке А и опирается на вертикальный стержень CD. Определить в кН усилие, в стрежне CD, если длина АВ = 1 м, ВС = СЕ = 2 м, а силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 2кН и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 4 кН вертикальны Задача 3.4.6. (7,33)

3.4.7

Определить интенсивность нагрузки q, при которой момент в заделке А равен 40 Н/м, если размеры АВ = 2 м, ВС = 4 м Задача 3.4.7. (25)

3.4.8

Определить вертикальную силу F, при которой момент в заделке А равен 240 Н/м, если интенсивность распределенной нагрузки q = 40 Н/м, а размеры CD = 3 м, АВ = ВС = 1м Задача 3.4.8. (180)

3.4.9

Определить момент в заделке А, если интенсивность распределенной нагрузки <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 100 Н/м, а длина бруса АВ равна 3 м Задача 3.4.9. (300)

3.4.10

Определить интенсивность <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
распределенной нагрузки, при которой момент в заделке А равен 270 Н/м, если размеры АВ = 1 м, АС= 4 м Задача 3.4.10. (60)

3.4.11

Определить момент в заделке А, если интенсивности распределенной нагрузки <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 30 Н/м, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 10 Н/м, а размеры АВ = 2 м, ВС = 6 м Задача 3.4.11. (660)

© Центр дистанционного образования МГУП