Московский государственный университет печати

Силенко П.Н.


         

Теоретическая механика

Конспект лекций для студентов вузов, обучающихся по специальности 170800 "Полиграфические машины и автоматизированные комплексы"


Силенко П.Н.
Теоретическая механика
Начало
Печатный оригинал
Об электронном издании
Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

1.

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1.

Предмет статики

1.2.

Сила

1.3.

Аксиомы статики

1.4.

Связи и их реакции. Аксиома связей

2.

Глава 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

2.1.

Проекция силы на ось и на плоскость

2.2.

Аналитически способ задания и сложения сил

2.3.

Геометрический способ сложения сил

2.4.

Теорема о трех силах

2.5.

Равнодействующая сходящихся сил и условие их равновесия

2.6.

Момент силы относительно центра

2.7.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

2.8.

Задачи

3.

Глава 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ И ПАРЫ СИЛ

3.1.

Сложение и разложение параллельных сил

3.2.

Пара сил. Момент пары

3.3.

Сложение пар. Условия равновесия пар

3.4.

Задачи

4.

Глава 4. СИСТЕМА СИЛ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННАЯ НА ПЛОСКОСТИ

4.1.

Теорема о параллельном переносе силы

4.2.

Приведение плоской системы сил к данному центру (простейшему виду)

4.3.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил

4.4.

Задачи

5.

ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ СИЛ И ПАР ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

5.1.

Момент силы как вектор. Моменты силы относительно центра и оси

5.2.

Приведение пространственной системы к данному центру (простейшему виду)

5.3.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

5.4.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси

5.5.

Задачи

6.

Глава 6. ТРЕНИЕ

6.1.

Законы трения скольжения

6.2.

Реакции шероховатых связей

6.3.

Равновесие при наличии трения

6.4.

Другие виды трения

6.5.

Задачи

7.

Глава 7. СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

7.1.

Центр параллельных сил

7.2.

Центр тяжести

7.3.

Координаты центров тяжести однородных тел

7.4.

Задачи

8.

КИНЕМАТИКА
Глава 8. ВВЕДЕНИЕ. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

8.1.

Предмет кинематики

8.2.

Способы задания движения точки

8.3.

Скорость точки

8.4.

Ускорение точки

8.5.

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

8.6.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

8.7.

Частные случаи движения точки

8.8.

Задачи

9.

Глава 9. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

9.1.

Поступательное движение

9.2.

Вращательное движение твердого тела

9.3.

Скорость и ускорение точек вращающегося тела

9.4.

Задачи

10.

Глава 10. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

10.1.

Уравнения движения

10.2.

Скорости точек тела. Мгновенный центр скоростей

10.3.

Ускорения точек тела. Мгновенный центр ускорений

10.4.

Задачи

11.

Глава 11. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

11.1.

Относительное, переносное и абсолютное движения

11.2.

Сложение скоростей

11.3.

Сложение ускорений

11.4.

Задачи

12.

Глава 12. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

12.1.

Сложение поступательных движений

12.2.

Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

12.3.

Задачи

13.

ДИНАМИКА
Глава 13. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ТОЧКИ

13.1.

Предмет динамики и законы динамики

13.2.

Дифференциальные уравнения движения точки

13.3.

Криволинейное движение точки

13.4.

Задачи

14.

Глава 14. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

14.1.

Теорема об изменении количества движения точки

14.2.

Работа сил

14.3.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

14.4.

Теорема моментов для точки

14.5.

Задачи

15.

Глава 15. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

15.1.

Основные понятия

15.2.

Центр масс системы

15.3.

Моменты инерции тела и Теорема Гюйгенса

15.4.

Задачи

16.

Глава 16. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

16.1.

Дифференциальные уравнения движения системы

16.2.

Теорема о движении центра масс системы

16.3.

Закон сохранения движения центра масс системы

16.4.

Задачи

17.

Глава 17. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

17.1.

Теорема об изменении количества движения системы

17.2.

Закон сохранения количества движения

17.3.

Задачи

18.

Глава 18. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

18.1.

Главный момент количеств движения системы

18.2.

Теорема моментов для системы

18.3.

Закон сохранения главного момента количеств движения системы

18.4.

Задачи

19.

Глава 19. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

19.1.

Кинетическая энергия системы. Работа. Мощность

19.2.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

19.3.

Потенциальная энергия

19.4.

Закон сохранения механической энергии

19.5.

Задачи

20.

Глава 20. ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

20.1.

Принцип Даламбера

20.2.

Принцип возможных перемещений

20.3.

Общее уравнение динамики

20.4.

Задачи

21.

Глава 21. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

21.1.

Обобщенные координаты и скорости

21.2.

Обобщенные силы

21.3.

Уравнения Лагранжа

21.4.

Задачи

Указатели
199   указатель иллюстраций
Рис. 36 Рис. 37 Рис. 38 Задача 6.5.1 Задача 6.5.2 Задача 6.5.3 Задача 6.5.4 Задача 6.5.5 Задача 6.5.6

6.1.

Законы трения скольжения

При стремлении двигать одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила сопротивления их относительному движению - скольжению, называемая силой трения. Основные закономерности этого явления можно сформулировать в виде законов:

1. При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения - сцепления, величина которой может принимать любые значения от нуля до <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, называемой предельной силой трения.

Сила трения направлена в строну, противоположную той, куда действующая сила стремится сдвинуть тело.

2. Величина предельной силы трения равна произведению статического коэффициента трения на нормальное давление или нормальную реакцию:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- статический коэффициент трения, зависит от материала, температуры, влажности, смазки и т.д.

3. Величина предельной силы трения практически не зависит от размеров соприкасающихся при трении поверхностей.

Эти три закона полностью описывают явление.

Объединяя первый и второй законы получим, что при равновесии сила трения покоя <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
или

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

При движении сила трения направлена в сторону, противоположную движению, и равна произведению динамического коэффициента трения на нормальное давление:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Динамический коэффициент трения кроме всего прочего зависит и от скорости движения одного тела по поверхности другого.

До сих пор мы рассматривали связи и реакции гладких поверхностей. Реакция реальной (шероховатой) связи будет слагаться из двух составляющих: из нормальной реакции <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и перпендикулярной к ней силы трения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Полная реакция <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
будет отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол. При изменении силы от нуля до <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, сила <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
будет меняться от <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
до <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, а ее угол с нормалью будет расти от нуля до предельного значения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Наибольший угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения (рис. 36 Рис. 36) Из рисунка 36 можно видеть:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Так как согласно первому закону трения (6.1.1) <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то угол трения и коэффициент трения связаны:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

При равновесии полная реакция <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, в зависимости от сдвигающих сил, может проходить где угодно внутри угла трения.

Приложим к телу лежащему на шероховатой поверхности силу <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, образующую острый угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
с нормалью (рис. 37 Рис. 37).

Тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
будет больше <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= N), так как неравенство <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, в котором <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, выполнится только при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то есть при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Следовательно, никакой силой, образующей с нормалью угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, меньший угла трения, тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя. Этим объясняется самоторможение тел и заклинивание.

Задача сводится к рассмотрению предельного положения, когда сила трения достигает своего наибольшего значения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. В этом случае реакцию шероховатой связи изображают двумя составляющими <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
=<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Затем составляют обычные условия равновесия статики, подставляя в них вместо <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
величину <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и решая полученные уравнения, определяют искомые величины.

Если положение равновесия не является предельным, то сила трения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
не равна <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и ее величина должна находиться из условий равновесия как неизвестная переменная.

При геометрическом решении реакцию шероховатой связи удобнее изображать одной силой <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, которая в предельном положении равновесия будет отклонена от нормали к поверхности на угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

1. Трение качения

При качении одного тела по поверхности другого, возникает сопротивление, называемое трением качения.

Если рассматривать круглый идеально упругий каток радиуса R и веса <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то ни о какой силе сопротивления - трения речь идти не может (рис. 38, а Рис. 38)

Силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
взаимно уравновешенные и мы можем их исключить из рассмотрения. Силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
образуют пару вызывающую качение цилиндра. При такой схеме, качение должно начаться при любой столь угодно малой активной силе <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Как показывает опыт, на самом деле это выглядит иначе. Объясняется это тем, что вследствие деформации тел, касание их происходит вдоль некоторой площадки АВ (рис. 38, б)

Под действием силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
интенсивность давления у края А убывает, а у края В возрастает. В результате <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
смещена в сторону действия силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. С увеличением <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, это смещение растет до предельной величины k. В предельном положении действует пара <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
с моментом <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и уравновешивающая ее пара <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
с моментом <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Приравнивая моменты

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

До тех пор, пока <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, каток находится в покое; если <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- начинается качение.

Величина k, входящая в формулы (6.4.1), (6.4.2) и показанная на рисунке 38, б (k = АВ), называется коэффициентом трения качения. Этот коэффициент измеряется в сантиметрах (обычно в сотых или тысячных долях сантиметра).

Если сравнить значение отношения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
со статическим коэффициентом трения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то можно понять, почему отдается предпочтение качению.

2. Трение верчения

Рассмотрим шар на горизонтальной поверхности. Если к нему приложить пару с моментом <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, направленным по нормали к поверхности, то пара будет стремиться повернуть шар вокруг нормали. Шар начнет вращаться в том случае если приложенный момент будет больше некоторой предельной величины <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где N - нормальное давление шара на плоскость, а <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- коэффициент трения верчения, имеющий размерность длины. Этот коэффициент в <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
раз меньше коэффициента трения качения и зачастую в подпятники вставляют шарик.

6.5.1

Каким должен быть наименьший вес тела 2, для того чтобы тело 1 весом 200 Н начало скользить по горизонтальной плоскости, если коэффициент трения скольжения f = 0,2 Задача 6.5.1. (40,0)

6.5.2

Определить наименьший вес тела 1, при котором оно скользит вниз по плоскости DE, если вес груза 2 равен 320 Н, коэффициент трения скольжения между телом 1 и плоскостью DE равен 0,2 Задача 6.5.2. (979)

6.5.3

Однородный брус АВ опирается в точке А на гладкую стену, а в точке В на негладкий пол. Определить наименьший коэффициент трения скольжения между брусом и полом, при котором брус останется в указанном положении в покое Задача 6.5.3. (0,50)

6.5.4

К однородному катку весом 2 кН приложена горизонтальная сила <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить наибольший модуль силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, при котором каток не скользит и не катится, если коэффициент трения качения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0,006 м, коэффициент трения скольжения f = 0,2, радиус R = 0,6 м, размер ОА = 0,4 м Задача 6.5.4. (12,0)

6.5.5

К катку 1 с помощью нерастяжимой нити подвешен груз 2. Определить наибольший вес этого груза, при котором каток 1 весом 3,2 кН останется в покое, если коэффициент трения качения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0,004 м, радиус R = 32,4 см Задача 6.5.5. (40,0)

6.5.6

К однородному катку 1 весом 5 кН приложена пара сил с моментом М = 210 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить, каким должен быть наибольший вес груза 2, для того чтобы каток катился влево, если коэффициент трения качения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0,003 м, радиус R = 0,453 м Задача 6.5.6. (428)

© Центр дистанционного образования МГУП