Московский государственный университет печати

Силенко П.Н.


         

Теоретическая механика

Конспект лекций для студентов вузов, обучающихся по специальности 170800 "Полиграфические машины и автоматизированные комплексы"


Силенко П.Н.
Теоретическая механика
Начало
Печатный оригинал
Об электронном издании
Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

1.

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1.

Предмет статики

1.2.

Сила

1.3.

Аксиомы статики

1.4.

Связи и их реакции. Аксиома связей

2.

Глава 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

2.1.

Проекция силы на ось и на плоскость

2.2.

Аналитически способ задания и сложения сил

2.3.

Геометрический способ сложения сил

2.4.

Теорема о трех силах

2.5.

Равнодействующая сходящихся сил и условие их равновесия

2.6.

Момент силы относительно центра

2.7.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

2.8.

Задачи

3.

Глава 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ И ПАРЫ СИЛ

3.1.

Сложение и разложение параллельных сил

3.2.

Пара сил. Момент пары

3.3.

Сложение пар. Условия равновесия пар

3.4.

Задачи

4.

Глава 4. СИСТЕМА СИЛ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННАЯ НА ПЛОСКОСТИ

4.1.

Теорема о параллельном переносе силы

4.2.

Приведение плоской системы сил к данному центру (простейшему виду)

4.3.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил

4.4.

Задачи

5.

ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ СИЛ И ПАР ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

5.1.

Момент силы как вектор. Моменты силы относительно центра и оси

5.2.

Приведение пространственной системы к данному центру (простейшему виду)

5.3.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

5.4.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси

5.5.

Задачи

6.

Глава 6. ТРЕНИЕ

6.1.

Законы трения скольжения

6.2.

Реакции шероховатых связей

6.3.

Равновесие при наличии трения

6.4.

Другие виды трения

6.5.

Задачи

7.

Глава 7. СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

7.1.

Центр параллельных сил

7.2.

Центр тяжести

7.3.

Координаты центров тяжести однородных тел

7.4.

Задачи

8.

КИНЕМАТИКА
Глава 8. ВВЕДЕНИЕ. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

8.1.

Предмет кинематики

8.2.

Способы задания движения точки

8.3.

Скорость точки

8.4.

Ускорение точки

8.5.

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

8.6.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

8.7.

Частные случаи движения точки

8.8.

Задачи

9.

Глава 9. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

9.1.

Поступательное движение

9.2.

Вращательное движение твердого тела

9.3.

Скорость и ускорение точек вращающегося тела

9.4.

Задачи

10.

Глава 10. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

10.1.

Уравнения движения

10.2.

Скорости точек тела. Мгновенный центр скоростей

10.3.

Ускорения точек тела. Мгновенный центр ускорений

10.4.

Задачи

11.

Глава 11. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

11.1.

Относительное, переносное и абсолютное движения

11.2.

Сложение скоростей

11.3.

Сложение ускорений

11.4.

Задачи

12.

Глава 12. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

12.1.

Сложение поступательных движений

12.2.

Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

12.3.

Задачи

13.

ДИНАМИКА
Глава 13. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ТОЧКИ

13.1.

Предмет динамики и законы динамики

13.2.

Дифференциальные уравнения движения точки

13.3.

Криволинейное движение точки

13.4.

Задачи

14.

Глава 14. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

14.1.

Теорема об изменении количества движения точки

14.2.

Работа сил

14.3.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

14.4.

Теорема моментов для точки

14.5.

Задачи

15.

Глава 15. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

15.1.

Основные понятия

15.2.

Центр масс системы

15.3.

Моменты инерции тела и Теорема Гюйгенса

15.4.

Задачи

16.

Глава 16. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

16.1.

Дифференциальные уравнения движения системы

16.2.

Теорема о движении центра масс системы

16.3.

Закон сохранения движения центра масс системы

16.4.

Задачи

17.

Глава 17. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

17.1.

Теорема об изменении количества движения системы

17.2.

Закон сохранения количества движения

17.3.

Задачи

18.

Глава 18. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

18.1.

Главный момент количеств движения системы

18.2.

Теорема моментов для системы

18.3.

Закон сохранения главного момента количеств движения системы

18.4.

Задачи

19.

Глава 19. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

19.1.

Кинетическая энергия системы. Работа. Мощность

19.2.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

19.3.

Потенциальная энергия

19.4.

Закон сохранения механической энергии

19.5.

Задачи

20.

Глава 20. ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

20.1.

Принцип Даламбера

20.2.

Принцип возможных перемещений

20.3.

Общее уравнение динамики

20.4.

Задачи

21.

Глава 21. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

21.1.

Обобщенные координаты и скорости

21.2.

Обобщенные силы

21.3.

Уравнения Лагранжа

21.4.

Задачи

Указатели
199   указатель иллюстраций
Рис. 39 Рис. 40 Задача 7.4.1 Задача 7.4.2 Задача 7.4.3 Задача 7.4.4 Задача 7.4.5 Задача 7.4.6 Задача 7.4.7

Рассмотрим систему параллельных и одинаково направленных сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Пусть эти силы приложены в точках <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Данная система имеет равнодействующую <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, направленную как и слагаемые силы и равную (рис. 39 Рис. 39).

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Если теперь будем поворачивать каждую из сил вокруг точки приложения (пунктирные векторы) на один и тот же угол, то получим новые системы с теми же модулями, равнодействующей и точками приложения, но разными направлениями. Можно показать, что при всех таких поворотах линия действия равнодействующей всегда проходит через одну и ту же точку С.

Сложив <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, получим, что их равнодействующая <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
при любых поворотах будет проходить через точку <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, лежащую на <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и удовлетворяющую равенству

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

так как ни это равенство, ни отрезок <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
не изменяются при поворотах векторов-сил.

Складывая <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, получим новую точку <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и так далее до получения точки С приложения равнодействующей всей системы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Отыскание координат центра параллельных сил. Положение точки С по отношению к телу неизменно и от выбора системы координат не зависит. Выберем систему координат Oxyz и пусть координаты точек приложения сил будут:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Повернем силы так, чтобы они были параллельны оси Oz и применим к ним теорему Вариньона 5.4:

Так как <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
равнодействующая, то

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Подставляя эти соотношения в (7.1.4), получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Для координаты <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
получим такую же формулу, беря моменты относительно оси Ох. Повернув силы параллельно оси Оу, получим координату <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Окончательно

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

На любое тело, а точнее на его каждую частицу у земной поверхности действует вертикальная сила притяжения Земли, которую называют силой тяжести.

Силы тяжести, действующие на тело можно считать параллельными и сохраняющими модули при любых поворотах. Поле этих сил называют однородным полем тяжести.

Равнодействующую сил тяжести <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
обозначают Р (рис. 40 Рис. 40).

Модуль этой силы равен весу тела и

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Так как принято считать силы тяжести параллельными, то мы имеем систему параллельных сил и можем воспользоваться как определением центра этих сил, так и формулами для определения координат этого центра (7.1.7).

Центром тяжести твердого тела называют неизменно связанную с этим телом точку, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любом положении тела в пространстве.

Координаты центра тяжести:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где Р определяется из (7.2.1).

1. Через объем однородного тела.

Вес <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
любой части тела пропорционален объему <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, так же как и полный вес Р объему V.

т.к. <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то подставляя в (7.2.2), получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Через площадь S однородной пластины:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

3. Через длину l линии:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Приведем здесь способы определения координат центров тяжести:

а) Симметрия. Если однородное тело имеет центр, ось или плоскость симметрии, то центр тяжести лежит в центре, плоскости или на оси симметрии.

б) Разбиение. Применяется в том случае, если тело можно разбить на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно.

в) Дополнение. Это частный случай разбиения.

г) Интегрирование. Тело разбивается на произвольное число объемов (или площадей, отрезков линии) с координатами:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Переходя к пределу при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Аналогичную операцию можно проделать и с формулами (7.3.2), (7.3.3).

д) Экспериментальный. Первым способом является взвешивание тела в связях с землей. Определив реакции связей, составляют уравнения равновесия и решая их получают координаты центра тяжести. Второй способ заключается в подвешивании тела на тросе (нити, цепи). Направление троса показывает на центр тяжести. Подвешивая тело за различные точки, получают несколько линий. Пересечение всех линий дает центр тяжести.

В заключении приведем центры тяжести некоторых однородных тел:

Центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии, от центра О на расстоянии

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения медиан.

Центр тяжести площади кругового сектора лежит на расстоянии <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
от центра О:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

7.4.1

Определить в см координату <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
центра тяжести кронштейна, состоящего из однородных стержней АВ = 0,2 м, BD = 0,1 м и DE = 0,06 м, имеющих одинаковый линейный вес Задача 7.4.1. (6,06)

7.4.2

Контур состоит из двух однородных проволок, согнутых в виде полуокружностей, линейный вес проволоки ОАВ равен 6 Н/м, а проволоки BDE - 10 Н/м. Определить координату <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
центра тяжести контура Задача 7.4.2. (0,673)

7.4.3

Определить координату <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
центра тяжести проволоки ABDE, если даны следующие размеры: а = b = 2 м, с = 1 м Задача 7.4.3. (1,60)

7.4.4

Определить координату <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
центра тяжести заштрихованной площади фигуры, если радиус r = 2 м Задача 7.4.4. (-0,126)

7.4.5

Определить координату центра тяжести <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
заштрихованной площади фигуры, если даны радиусы окружностей: R = 0,99 м, r = 0,33 м Задача 7.4.5. (0,446)

7.4.6

Определить координату <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
центра тяжести однородного тела, состоящего из конуса и цилиндра, если высота <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 2Н= 0,4 Задача 7.4.6. (0,18)

7.4.7

Определить координату <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
центр тяжести однородного тела, состоящего из прямоугольного параллелепипеда и призмы, если высота <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 3Н= 1,2 м Задача 7.4.7. (0,45)

© Центр дистанционного образования МГУП