Московский государственный университет печати

Силенко П.Н.


         

Теоретическая механика

Конспект лекций для студентов вузов, обучающихся по специальности 170800 "Полиграфические машины и автоматизированные комплексы"


Силенко П.Н.
Теоретическая механика
Начало
Печатный оригинал
Об электронном издании
Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

1.

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1.

Предмет статики

1.2.

Сила

1.3.

Аксиомы статики

1.4.

Связи и их реакции. Аксиома связей

2.

Глава 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

2.1.

Проекция силы на ось и на плоскость

2.2.

Аналитически способ задания и сложения сил

2.3.

Геометрический способ сложения сил

2.4.

Теорема о трех силах

2.5.

Равнодействующая сходящихся сил и условие их равновесия

2.6.

Момент силы относительно центра

2.7.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

2.8.

Задачи

3.

Глава 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ И ПАРЫ СИЛ

3.1.

Сложение и разложение параллельных сил

3.2.

Пара сил. Момент пары

3.3.

Сложение пар. Условия равновесия пар

3.4.

Задачи

4.

Глава 4. СИСТЕМА СИЛ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННАЯ НА ПЛОСКОСТИ

4.1.

Теорема о параллельном переносе силы

4.2.

Приведение плоской системы сил к данному центру (простейшему виду)

4.3.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил

4.4.

Задачи

5.

ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ СИЛ И ПАР ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

5.1.

Момент силы как вектор. Моменты силы относительно центра и оси

5.2.

Приведение пространственной системы к данному центру (простейшему виду)

5.3.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

5.4.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси

5.5.

Задачи

6.

Глава 6. ТРЕНИЕ

6.1.

Законы трения скольжения

6.2.

Реакции шероховатых связей

6.3.

Равновесие при наличии трения

6.4.

Другие виды трения

6.5.

Задачи

7.

Глава 7. СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

7.1.

Центр параллельных сил

7.2.

Центр тяжести

7.3.

Координаты центров тяжести однородных тел

7.4.

Задачи

8.

КИНЕМАТИКА
Глава 8. ВВЕДЕНИЕ. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

8.1.

Предмет кинематики

8.2.

Способы задания движения точки

8.3.

Скорость точки

8.4.

Ускорение точки

8.5.

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

8.6.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

8.7.

Частные случаи движения точки

8.8.

Задачи

9.

Глава 9. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

9.1.

Поступательное движение

9.2.

Вращательное движение твердого тела

9.3.

Скорость и ускорение точек вращающегося тела

9.4.

Задачи

10.

Глава 10. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

10.1.

Уравнения движения

10.2.

Скорости точек тела. Мгновенный центр скоростей

10.3.

Ускорения точек тела. Мгновенный центр ускорений

10.4.

Задачи

11.

Глава 11. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

11.1.

Относительное, переносное и абсолютное движения

11.2.

Сложение скоростей

11.3.

Сложение ускорений

11.4.

Задачи

12.

Глава 12. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

12.1.

Сложение поступательных движений

12.2.

Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

12.3.

Задачи

13.

ДИНАМИКА
Глава 13. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ТОЧКИ

13.1.

Предмет динамики и законы динамики

13.2.

Дифференциальные уравнения движения точки

13.3.

Криволинейное движение точки

13.4.

Задачи

14.

Глава 14. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

14.1.

Теорема об изменении количества движения точки

14.2.

Работа сил

14.3.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

14.4.

Теорема моментов для точки

14.5.

Задачи

15.

Глава 15. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

15.1.

Основные понятия

15.2.

Центр масс системы

15.3.

Моменты инерции тела и Теорема Гюйгенса

15.4.

Задачи

16.

Глава 16. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

16.1.

Дифференциальные уравнения движения системы

16.2.

Теорема о движении центра масс системы

16.3.

Закон сохранения движения центра масс системы

16.4.

Задачи

17.

Глава 17. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

17.1.

Теорема об изменении количества движения системы

17.2.

Закон сохранения количества движения

17.3.

Задачи

18.

Глава 18. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

18.1.

Главный момент количеств движения системы

18.2.

Теорема моментов для системы

18.3.

Закон сохранения главного момента количеств движения системы

18.4.

Задачи

19.

Глава 19. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

19.1.

Кинетическая энергия системы. Работа. Мощность

19.2.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

19.3.

Потенциальная энергия

19.4.

Закон сохранения механической энергии

19.5.

Задачи

20.

Глава 20. ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

20.1.

Принцип Даламбера

20.2.

Принцип возможных перемещений

20.3.

Общее уравнение динамики

20.4.

Задачи

21.

Глава 21. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

21.1.

Обобщенные координаты и скорости

21.2.

Обобщенные силы

21.3.

Уравнения Лагранжа

21.4.

Задачи

Указатели
199   указатель иллюстраций
Рис. 41 Рис. 42 Рис. 43 Рис. 44 Рис. 45 Рис. 46 Рис. 47 Рис. 48 Задача 8.8.2 Задача 8.8.4

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами и массами, определяющим это движение.

Система отсчета - это система координат жестко связанная с телом по отношению к которому изучается движение. Отсчет времени ведется с некоторого начального момента (t = 0).

Кинематически задать движение или закон движения - это задать положение движущегося тела относительно системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики состоит в том, чтобы зная закон движения данного тела определить все кинематические характеристики как самого тела, так и его точек (траекторию, скорости, ускорения и т.д.).

Традиционно изучение кинематики начинают с точки.

Как уже отмечалось, чтобы задать движение точки, нужно задать ее положение в выбранной системе отсчета в любой момент времени. Существуют три способа задания движения: 1) естественный, 2) координатный, 3) векторный.

1) Естественный способ задания движения.

Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. В зависимости от вида траектории движение называют прямолинейным или криволинейным.

Пусть <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- система отсчета; АВ - траектория; О - начало отсчета; <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- направление движения; S - криволинейная координата или расстояние вдоль дуги с соответствующим знаком (рис. 41 Рис. 41).

Так как точка М движется вдоль траектории, то ее координата S будет изменяться со временем, то есть

S = f(t) (8.2.1)

Это и есть закон движения точки М вдоль траектории. Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать: 1) траекторию точки. 2) начало отсчета на траектории с указанием направления движения (<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
), 3) закон движения точки вдоль траектории в виде (8.2.1).

Здесь необходимо заметить, что S определяет положение точки на траектории, а не пройденный путь.

2) Координатный способ задания движения.

Положение точки по отношению к данной системе отсчета O,x,y,z можно определить с помощью координат x,y,z (рис. 42 Рис. 42). При движении точки М вдоль траектории, с течением времени, координаты будут изменяться и чтобы задать закон движения точки, нужно задать зависимости:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Соотношения (8.2.2) представляют собой уравнения движения точки в декартовых прямоугольных координатах. Они представляют собой и параметрические уравнения траектории. Исключив параметр t, получим уравнение траектории через координаты.

3) Векторный способ задания движения.

Пусть задана система отсчета Oxyz (рис. 43 Рис. 43).

Положение точки М в ней, в любой момент времени можно определить, задав вектор r из точки О в точку М. Такой вектор называется радиус-вектором точки М. С течением времени он изменяется, то есть

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Это и есть закон движения точки в векторной форме. Годограф этого вектора определяет траекторию движения точки.

Определив все три закона движения, можно указать метод перехода от одного способа к другому.

Пусть уравнения движения заданы в форме (8.2.2), но

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Задавая начальные условия: t = 0, S = 0 получаем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Это соотношение переводит закон движения из формы (8.2.2) в форму (8.2.1)

Скорость точки, являясь векторной величиной, определяет одну из основных кинематических характеристик движения точки. Введем понятие средней скорости.

Пусть в момент времени t точка находится в положении М и имеет радиус-вектор <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, а в момент времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, соответственно в <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и радиус-вектор <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(рис. 44 Рис. 44).

Тогда за время <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
точка переместится по траектории на вектор перемещения:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

или

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени называют средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Направление вектора <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
такое же как и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, в сторону движения. Модуль скорости равен

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Скоростью точки в данный момент t называется векторная величина <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, к которой стремится <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, стремящемся к нулю

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Так как предел секущей есть касательная, то вектор скорости точки в данный момент направлен по касательной к траектории в сторону движения.

Единица измерения скорости <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.

Пусть в момент времени t точка занимает положение М и имеет скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. В момент времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
она занимает положение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и имеет скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(рис. 45 Рис. 45).

Тогда за промежуток времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
она получит приращение скорости <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Приращение скорости направлено в сторону вогнутости траектории.

Отношение приращения вектора скорости <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
к приращению времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
определяет вектор среднего ускорения точки

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Вектор среднего ускорения направлен по линии действия <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Ускорением точки в данный момент времени t называется векторная величина <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, к которой стремится среднее ускорение при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, стремящемся к нулю:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Вектор ускорения w лежит в соприкасающейся плоскости, то есть в плоскости проходящей через <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, когда <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
стремится, в силу уменьшения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, занять положение М, и направлен в сторону вогнутости кривой.

1) Определение скорости <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
: Основываясь на соотношениях (8.2.3), а так же на общем понятии скорости как пределу отношения приращения величины <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
к приращению времени когда последняя стремится к нулю, имеем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Проекции скоростей на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Модуль и направляющие углы определяются по следующим формулам:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- углы между вектором скорости и осями координат.

2) Определив ускорение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
: Согласно (8.4.2) имеем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Проектируя на оси координат получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Модуль полного ускорения и направляющие углы:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- углы между вектором <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и осями координат.

Пусть дана траектория и закон движения по ней (рис. 46 Рис. 46)

Это закон (8.2.1), S = f(t). Если за время <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
точка переходит из положения М в положение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, и криволинейная координата получает приращение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то численную величину средней скорости определяют как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Переходя к пределу, получаем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Численная величина скорости уточки в данный момент времени равна первой производной от координаты S по времени. Вектор скорости <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
направлен по касательной к траектории. Численная величина скорости v отличается от модуля скорости только знаком.

Численная величина одновременно определяет и модуль вектора скорости и сторону, куда он направлен.

Для определения ускорения при естественном способе задания движения, оси координат выберем следующим образом: ось <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- вдоль касательной к траектории, в сторону (+) направления отсчета расстояния S (рис. 47 Рис. 47).

- ось Мn - по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости;

- ось Mb - перпендикулярно первым двум, так чтобы была правая тройка координатных векторов.

Нормаль Мn называется главной нормалью, а Мb - бинормалью.

Так как <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
лежит в соприкасающейся плоскости (см. 9.4), то есть в плоскости <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то его проекция на бинормаль равна нулю (<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
).

Вычислим его проекции на две другие оси:

Пусть в момент времени t точка находится в положении М и имеет скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, а в момент <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- в положении <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
со скоростью <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Тогда за промежуток <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
она приобретет ускорение

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Перейдем от векторов к их проекциям на оси <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и Мn, тогда

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Проведем через точку <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
оси <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, параллельные основным осям <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и Мn. Обозначим угол между y, и осью <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
через <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Этот угол между касательными к кривой в точках М и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
назовем углом смежности, так как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, согласно рисунку 47.

Соотношение (8.6.6) определяет кривизну k кривой в точке М и определяется величиной, обратной радиусу кривизны <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Учитывая (8.6.4), (8.6.5) и (8.6.6) запишем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

При <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
стремящемся к нулю точка <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
будет находиться (стремиться) все ближе к точке М и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, будут так же стремиться к нулю, a <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, получаем для тангенциальной составляющей ускорения

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Для получения нормальной составляющей умножим и разделим второе соотношение (8.6.8) на <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Результат <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
получается в силу того, что

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Окончательно получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния S по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинормаль равна нулю.

Вектор ускорения точки <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
всегда является диагональю параллелограмма, построенного на составляющих <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(рис. 48 Рис. 48).

Если касательная и нормальная составляющие полного ускорения записываются как (8.6.12), то

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- угол между вектором полного ускорения и нормалью к кривой в точке вычисления ускорения (рис. 48, а).

1) прямолинейное движение

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Скорость изменяется только численно. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по численной величине.

2) Равномерное криволинейное движение

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Вектор полного ускорения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
направлен по нормали к траектории. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Закон движения можно получить следующим образом:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Начальные условия: пусть при t = 0, S =<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Тогда

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Так как v = const, то S =<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
+ vt, и, если <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0, то

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

3) Равномерное прямолинейное движение

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Единственное движение, при котором полное ускорение равно нулю (w - 0).

4) Равнопеременное криволинейное движение

Если <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= const, то находим закон движения при начальных условиях t = 0, S =<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, v =<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
,

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Если модуль скорости возрастает, то движение ускоренное, при убывании - замедленное.

5) Гармонические колебания

Рассмотрим прямолинейное движение точки при котором рас

стояние от начала координат меняется по закону

x = acoskt (8.7.9)

где а и k - некоторые постоянные величины.

Такое движение точки называют гармоническим колебанием относительно начала координат с амплитудой а. Точка начиная движение в момент t = 0 из положения М0 вновь возвратится в это положение в момент времени t, когда <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Этот промежуток времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
называют периодом колебания.

Если взять производные от х по t, то получим скорость и ускорение точки:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

То есть и скорость и ускорение изменяются по гармоническому закону.

8.8.1

Заданы уравнения движения точки х = cost, у = 2sint. Определить расстояние от точки до начала координат в момент времени t = 2,5 с. (1,44)

8.8.2

Положение кривошипа определяется углом <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0,5t. Определить скорость ползуна В в момент времени t = 4 с, если OA = АВ = 1,5 м. Задача 8.8.2 (-1,36)

8.8.3

Точка движется по прямой с постоянным ускорением а = 0,3 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить начальную скорость, если через 6 с скорость точки стала равной 3 м/с. (1,2)

8.8.4

Положение линейки АВ определяется углом <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0,2t. Определить в <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
проекцию ускорения точки М на ось Оу в момент времени t = 3 с, если расстояние AM = 50 см Задача 8.8.4. (-1,13)

8.8.5

Скорость точки задана уравнением v = 0,2t. Определить криволинейную координату s точки в момент времени t = 10с, если при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0 координата <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0. (10)

8.8.6

Касательное ускорение точки <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0,2t. Определить момент времени t, когда скорость v точки достигнет 10 м/с, если при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0 скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 2 м/с. (8,94)

8.8.7

Точка движется по окружности, радиус которой r = 30 см, со скоростью v = lnt. Определить нормальное ускорение точки в момент времени t = 12 с. (20,6)

8.8.8

Точка движется по криволинейной траектории с касательным ускорением <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 1,4 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить нормальное ускорение точки в момент времени, когда ее полное ускорение а = 2,6 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. (2,19)

8.8.9

Точка движется по окружности, радиус которой r = 50 м, со скоростью v = 2t. Определить модуль полного ускорения в момент времени t = 5 с. (2,83)

8.8.10

Задано уравнение движения точки по криволинейной траектории s = 0,2<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
+ 0,3t. Определить полное ускорение точки в момент времени t = 3 с, если в этот момент радиус кривизны траектории <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 1,5 м. (1,55)

© Центр дистанционного образования МГУП