Московский государственный университет печати

Силенко П.Н.


         

Теоретическая механика

Конспект лекций для студентов вузов, обучающихся по специальности 170800 "Полиграфические машины и автоматизированные комплексы"


Силенко П.Н.
Теоретическая механика
Начало
Печатный оригинал
Об электронном издании
Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

1.

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1.

Предмет статики

1.2.

Сила

1.3.

Аксиомы статики

1.4.

Связи и их реакции. Аксиома связей

2.

Глава 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

2.1.

Проекция силы на ось и на плоскость

2.2.

Аналитически способ задания и сложения сил

2.3.

Геометрический способ сложения сил

2.4.

Теорема о трех силах

2.5.

Равнодействующая сходящихся сил и условие их равновесия

2.6.

Момент силы относительно центра

2.7.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

2.8.

Задачи

3.

Глава 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ И ПАРЫ СИЛ

3.1.

Сложение и разложение параллельных сил

3.2.

Пара сил. Момент пары

3.3.

Сложение пар. Условия равновесия пар

3.4.

Задачи

4.

Глава 4. СИСТЕМА СИЛ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННАЯ НА ПЛОСКОСТИ

4.1.

Теорема о параллельном переносе силы

4.2.

Приведение плоской системы сил к данному центру (простейшему виду)

4.3.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил

4.4.

Задачи

5.

ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ СИЛ И ПАР ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

5.1.

Момент силы как вектор. Моменты силы относительно центра и оси

5.2.

Приведение пространственной системы к данному центру (простейшему виду)

5.3.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

5.4.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси

5.5.

Задачи

6.

Глава 6. ТРЕНИЕ

6.1.

Законы трения скольжения

6.2.

Реакции шероховатых связей

6.3.

Равновесие при наличии трения

6.4.

Другие виды трения

6.5.

Задачи

7.

Глава 7. СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

7.1.

Центр параллельных сил

7.2.

Центр тяжести

7.3.

Координаты центров тяжести однородных тел

7.4.

Задачи

8.

КИНЕМАТИКА
Глава 8. ВВЕДЕНИЕ. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

8.1.

Предмет кинематики

8.2.

Способы задания движения точки

8.3.

Скорость точки

8.4.

Ускорение точки

8.5.

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

8.6.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

8.7.

Частные случаи движения точки

8.8.

Задачи

9.

Глава 9. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

9.1.

Поступательное движение

9.2.

Вращательное движение твердого тела

9.3.

Скорость и ускорение точек вращающегося тела

9.4.

Задачи

10.

Глава 10. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

10.1.

Уравнения движения

10.2.

Скорости точек тела. Мгновенный центр скоростей

10.3.

Ускорения точек тела. Мгновенный центр ускорений

10.4.

Задачи

11.

Глава 11. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

11.1.

Относительное, переносное и абсолютное движения

11.2.

Сложение скоростей

11.3.

Сложение ускорений

11.4.

Задачи

12.

Глава 12. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

12.1.

Сложение поступательных движений

12.2.

Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

12.3.

Задачи

13.

ДИНАМИКА
Глава 13. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ТОЧКИ

13.1.

Предмет динамики и законы динамики

13.2.

Дифференциальные уравнения движения точки

13.3.

Криволинейное движение точки

13.4.

Задачи

14.

Глава 14. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

14.1.

Теорема об изменении количества движения точки

14.2.

Работа сил

14.3.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

14.4.

Теорема моментов для точки

14.5.

Задачи

15.

Глава 15. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

15.1.

Основные понятия

15.2.

Центр масс системы

15.3.

Моменты инерции тела и Теорема Гюйгенса

15.4.

Задачи

16.

Глава 16. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

16.1.

Дифференциальные уравнения движения системы

16.2.

Теорема о движении центра масс системы

16.3.

Закон сохранения движения центра масс системы

16.4.

Задачи

17.

Глава 17. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

17.1.

Теорема об изменении количества движения системы

17.2.

Закон сохранения количества движения

17.3.

Задачи

18.

Глава 18. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

18.1.

Главный момент количеств движения системы

18.2.

Теорема моментов для системы

18.3.

Закон сохранения главного момента количеств движения системы

18.4.

Задачи

19.

Глава 19. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

19.1.

Кинетическая энергия системы. Работа. Мощность

19.2.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

19.3.

Потенциальная энергия

19.4.

Закон сохранения механической энергии

19.5.

Задачи

20.

Глава 20. ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

20.1.

Принцип Даламбера

20.2.

Принцип возможных перемещений

20.3.

Общее уравнение динамики

20.4.

Задачи

21.

Глава 21. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

21.1.

Обобщенные координаты и скорости

21.2.

Обобщенные силы

21.3.

Уравнения Лагранжа

21.4.

Задачи

Указатели
199   указатель иллюстраций
Рис. 49 Рис. 50 Рис. 51 Рис. 52 Рис. 53 Задача 9.4.1 Задача 9.4.2 Задача 9.4.5 Задача 9.4.7 Задача 9.4.8 Задача 9.4.9

Поступательное движение - это такое движение твердого тела, при котором любая прямая соединяющая две точки тела, движется, оставаясь параллельной самой себе.

Поступательное движение нельзя смешивать с прямолинейным, так как при поступательном движении траектория может быть какой угодно.

Свойства поступательного движения характеризует следующая теорема:

Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Пусть дано твердое тело совершающее поступательное движение относительно системы отсчета Oxyz (рис. 49 Рис. 49).

Выберем произвольные точки A и В характеризующиеся радиус-векторами <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
в момент времени t.

Проведем вектор <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, тогда

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Так как тело движется поступательно, то траекторию точки А получим из траектории точки В параллельным смещением всех точек на отрезок <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Продифференцируем уравнение (9.1.1):

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Взяв производную от (9.1.3), получаем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы.

Вращательным называют такое движение твердого тела, при котором две какие-нибудь точки принадлежащие телу, остаются во все время движения неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки лежащие на оси так же неподвижны.

Чтобы определить положение вращающегося тела, введем две плоскости, проходящие через ось вращения (рис. 50 Рис. 50) А - плоскость неподвижная; В - плоскость связанная с телом и вращающаяся с ним; DE - ось вращения, совпадающая с осью z.

Теперь в любой момент времени положение тела будет определяться углом <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
между плоскостями А и В или углом поворота тела, положительным, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Закон вращательного движения

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Угол поворота обычно измеряют в радианах.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и угловое ускорение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Если за промежуток времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
тело совершает поворот на угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то средняя угловая скорость будет численно равна

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Угловой скоростью тела в данный момент t называется величина, к которой стремится средняя угловая скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, если <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
стремится к нулю.

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Угловая скорость твердого тела является первой производной от угла поворота по времени.

Размерность: [радиан/время]; [1/время]; [1/сек =<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
].

Угловую скорость можно изображать вектором. Вектор угловой скорости <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
направляют по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки.

Если угловая скорость не является постоянной величиной, то вводят еще одну характеристику вращения - угловое ускорение.

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени.

Если за промежуток времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
угловая скорость получает приращение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то среднее угловое ускорение равно

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Угловым ускорением твердого тела в данный момент времени t называется величина к которой стремится <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
стремящемся к нулю

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Как вектор, угловое ускорение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
направлен так же, как и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, вдоль оси (рис. 51 Рис. 51)

Если направление <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
совпадает, то вращение ускоренное, если противоположно, то замедленное.

Если <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= const, то вращение будет равномерным.

Найдем его закон. Так как <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то, интегрируя при начальных условиях t = 0, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0, получаем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Это и есть закон равномерного вращения.

В технике вращение характеризуют оборотами в минуту n [об/мин]. Угловая скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и обороты в минуту n связаны следующим соотношением:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Если угловое ускорение тела все время остается постоянным, то вращение называют равнопеременным (<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= const).

Найдем закон вращения, если в начальный момент t = 0, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0 и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, интегрируя получаем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Подставляем вместо <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
правую часть (9.2.3), разделяем переменные и, вновь интегрируя, имеем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Это закон равнопеременного вращения.

Если <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
имеют один знак, то вращение равноускоренное. Если знаки разные - равнозамедленное. (рис. 51, а,б).

Рассмотрим точку М вращающегося тела (рис. 50) находящуюся на расстоянии h от оси вращения. За время dt тело поворачивается на угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Точка М по траектории совершает перемещение ds =<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Тогда скорость точки будет равна отношению ds к dt, то есть

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

v - называется линейной или окружной скоростью точки М твердого тела. Направлена линейная скорость по касательной к описываемой точкой М окружности. Линейные скорости пропорциональны их расстояниям от оси вращения (рис. 52 Рис. 52).

Найдем ускорение произвольной точки М вращающегося тела.

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Полное ускорение точки М будет

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса определяется углом <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(рис. 53 Рис. 53)

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

9.4.1

При вращении кривошипа <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
м угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
изменяется по закону <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить радиус кривизны траектории точки D полукруга ABD при t = 2 с, если АВ = 0,25 м Задача 9.4.1. (0,16)

9.4.2

Тело 3, установленное на двух цилиндрических катках 1 и 2, совершает поступательное движение. Чему равно ускорение точки С, если ускорение точки А равно 2 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, причем ВС = 2АВ = 1 м Задача 9.4.2. (2)

9.4.3

Угловая скорость тела изменяется согласно закону <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить время t остановки тела. (0,5)

9.4.4

Угловое ускорение тела изменяется согласно закону <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 2t. Определить угловую скорость тела в момент времени t = 4 с, если при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0 угловая скорость равна нулю. (16)

9.4.5

Нормальное ускорение точки М диска, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно 6,4 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить угловую скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
этого диска, если его радиус R = 0,4 м Задача 9.4.5. (4)

9.4.6

Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. В момент времени t = 2 с определить касательное ускорение точки тела на расстоянии от оси вращения r = 0,2 м. (4,8)

9.4.7

Какой должна быть частота вращения (об/мин) <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
шестерни 1, чтобы тело 3 двигалось с постоянной скоростью v = 90 см/с, если числа зубьев шестерен <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 26, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 78 и радиус барабана r = 10 см? Задача 9.4.7 (258)

9.4.8

Угловая скорость зубчатого колеса 1 изменяется по закону <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить ускорение груза 3 в момент времени t = 2 с, если радиусы шестерен <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 1 м, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0,8 м и радиус барабана r = 0,4 м Задача 9.4.8. (4)

9.4.9

Зубчатое колесо 3 вращается равнопеременно с угловым ускорением <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить путь, пройденный грузом 1 за промежуток времени t = 3 с, если радиусы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0,8 м, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0,6 м, r = 0,4 м. Груз 1 в начале движения находился в покое Задача 9.4.9. (10,8)

© Центр дистанционного образования МГУП