Московский государственный университет печати

Силенко П.Н.


         

Теоретическая механика

Конспект лекций для студентов вузов, обучающихся по специальности 170800 "Полиграфические машины и автоматизированные комплексы"


Силенко П.Н.
Теоретическая механика
Начало
Печатный оригинал
Об электронном издании
Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

1.

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1.

Предмет статики

1.2.

Сила

1.3.

Аксиомы статики

1.4.

Связи и их реакции. Аксиома связей

2.

Глава 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

2.1.

Проекция силы на ось и на плоскость

2.2.

Аналитически способ задания и сложения сил

2.3.

Геометрический способ сложения сил

2.4.

Теорема о трех силах

2.5.

Равнодействующая сходящихся сил и условие их равновесия

2.6.

Момент силы относительно центра

2.7.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

2.8.

Задачи

3.

Глава 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ И ПАРЫ СИЛ

3.1.

Сложение и разложение параллельных сил

3.2.

Пара сил. Момент пары

3.3.

Сложение пар. Условия равновесия пар

3.4.

Задачи

4.

Глава 4. СИСТЕМА СИЛ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННАЯ НА ПЛОСКОСТИ

4.1.

Теорема о параллельном переносе силы

4.2.

Приведение плоской системы сил к данному центру (простейшему виду)

4.3.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил

4.4.

Задачи

5.

ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ СИЛ И ПАР ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

5.1.

Момент силы как вектор. Моменты силы относительно центра и оси

5.2.

Приведение пространственной системы к данному центру (простейшему виду)

5.3.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

5.4.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси

5.5.

Задачи

6.

Глава 6. ТРЕНИЕ

6.1.

Законы трения скольжения

6.2.

Реакции шероховатых связей

6.3.

Равновесие при наличии трения

6.4.

Другие виды трения

6.5.

Задачи

7.

Глава 7. СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

7.1.

Центр параллельных сил

7.2.

Центр тяжести

7.3.

Координаты центров тяжести однородных тел

7.4.

Задачи

8.

КИНЕМАТИКА
Глава 8. ВВЕДЕНИЕ. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

8.1.

Предмет кинематики

8.2.

Способы задания движения точки

8.3.

Скорость точки

8.4.

Ускорение точки

8.5.

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

8.6.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

8.7.

Частные случаи движения точки

8.8.

Задачи

9.

Глава 9. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

9.1.

Поступательное движение

9.2.

Вращательное движение твердого тела

9.3.

Скорость и ускорение точек вращающегося тела

9.4.

Задачи

10.

Глава 10. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

10.1.

Уравнения движения

10.2.

Скорости точек тела. Мгновенный центр скоростей

10.3.

Ускорения точек тела. Мгновенный центр ускорений

10.4.

Задачи

11.

Глава 11. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

11.1.

Относительное, переносное и абсолютное движения

11.2.

Сложение скоростей

11.3.

Сложение ускорений

11.4.

Задачи

12.

Глава 12. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

12.1.

Сложение поступательных движений

12.2.

Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

12.3.

Задачи

13.

ДИНАМИКА
Глава 13. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ТОЧКИ

13.1.

Предмет динамики и законы динамики

13.2.

Дифференциальные уравнения движения точки

13.3.

Криволинейное движение точки

13.4.

Задачи

14.

Глава 14. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

14.1.

Теорема об изменении количества движения точки

14.2.

Работа сил

14.3.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

14.4.

Теорема моментов для точки

14.5.

Задачи

15.

Глава 15. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

15.1.

Основные понятия

15.2.

Центр масс системы

15.3.

Моменты инерции тела и Теорема Гюйгенса

15.4.

Задачи

16.

Глава 16. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

16.1.

Дифференциальные уравнения движения системы

16.2.

Теорема о движении центра масс системы

16.3.

Закон сохранения движения центра масс системы

16.4.

Задачи

17.

Глава 17. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

17.1.

Теорема об изменении количества движения системы

17.2.

Закон сохранения количества движения

17.3.

Задачи

18.

Глава 18. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

18.1.

Главный момент количеств движения системы

18.2.

Теорема моментов для системы

18.3.

Закон сохранения главного момента количеств движения системы

18.4.

Задачи

19.

Глава 19. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

19.1.

Кинетическая энергия системы. Работа. Мощность

19.2.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

19.3.

Потенциальная энергия

19.4.

Закон сохранения механической энергии

19.5.

Задачи

20.

Глава 20. ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

20.1.

Принцип Даламбера

20.2.

Принцип возможных перемещений

20.3.

Общее уравнение динамики

20.4.

Задачи

21.

Глава 21. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

21.1.

Обобщенные координаты и скорости

21.2.

Обобщенные силы

21.3.

Уравнения Лагранжа

21.4.

Задачи

Указатели
199   указатель иллюстраций
Рис. 70 Рис. 71 Рис. 72 Задача 13.4.3 Задача 13.4.4

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в зависимости от действующих на них сил.

Силы в динамике переменные и могут зависеть от времени, положения тела и от его скорости.

К понятию инертности можно придти, если сравнить результаты действия одной силы на разные тела.

Свойство тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил называется инертностью.

Количественной мерой инертности является масса тела (мера гравитационных свойств тела). Массу данного тела будем считать постоянной (за исключением особо обговариваемых случаев). Чтобы отвлечься от формы тела вводится понятие материальной точки.

Материальной точкой называется материальное тело, имеющее массу, размерами которого при изучении движения можно пренебречь.

В динамике тело, движущееся поступательно можно считать материальной точкой.

В основе динамики лежат законы, которые изложил Ньютон в 1687 году. Эти три закона называют еще аксиомами Галилея-Ньютона, так как первый закон был открыт Галилеем еще в 1638 году.

1. Закон инерции. Материальное тело (точка) сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не заставят его изменить это состояние. Итак, если сила <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, действующая на тело, равна нулю, то его скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
=const, а ускорение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0 .

Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной.

2. Основной закон. Ускорение материального тела (точки) пропорционально приложенной к нему силе и имеет одинаковое с ней направление.

Этот закон показывает, как меняется скорость тела под действием сил. Второй закон Ньютона обычно записывают в форме Эйлера (1736 г.)

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

причем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Произведение массы тела на ускорение, которое оно получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Второй закон выполняется по отношению к инерциональной системе отсчета.

Несколько одновременно действующих на материальную точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме.

Это закон независимости действия сил. Применяя его, основной закон можно переписать как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Масса есть мера инертности материальных тел при их поступательном движении. Из (13.1.2) получаем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Если применить данное уравнение к телу веса G и учесть, что ускорение свободного падения равно g, то имеем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Что позволяет, зная массу тела, определить его вес и наоборот. Все тела G, так же как и ускорение g может изменяться, но масса является для данного тела неизменной.

3. Закон равенства действия и противодействия

Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие. Закон устанавливает характер механического взаимодействия между телами. Два материальных тела (точки) действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки (тела) в противоположные стороны.

Данный параграф мы посвятим задачам динамики для свободной и несвободной материальной точки. Собственно задач две:

1 Зная закон движения точки, определить действующую на нее силу.

2. Зная действующие на точку силы, определить закон движения точки (основная задача динамики).

Всякую несвободную материальную точку, можно рассматривать как свободную, отбросив связь и заменив ее действие реакцией этой связи <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Тогда основной закон динамики для несвободного движения будет:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

При решении первой задачи динамики необходимо хорошо помнить три закона динамики и применять их в задачах.

При решении задач второй группы необходимо рассматривать дифференциальные уравнения движения.

При прямолинейном движении скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и ускорение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
направлены вдоль одной прямой. Так как ускорение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и сила <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
совпадают по действию, то точка будет двигаться прямолинейно тогда, когда действующая на нее сила имеет постоянное направление.

Пусть дана материальная точка массы m, которая движется под действием силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(рис. 70 Рис. 70)

Положение точки М определяется координатой х.

Основная задача динамики: зная <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, найти

х = f(t).

Связь между х и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
дает уравнение (13.1.3):

Проектируя его на ось Ох, получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Это дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки.

Это уравнение можно записать по иному:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Чтобы найти зависимость х = f(t) необходимо проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение.

Так как силы зависят от времени, положения и скорости точки, то в общем виде задача сводится к решению дифференциального уравнения второго порядка:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Решение в конкретном случае зависит от вида правой части. После интегрирования в решение войдут две константы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и общее решение будет

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Чтобы получить частное решение используют начальные условия:

1. Начальный момент времени

2. Начальное положение

3. Начальная скорость

Например: при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Определяем <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и тогда частное решение будет

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Пусть на тело действует постоянная по модулю и направлению сила <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, тогда первое уравнение (13.2.4) запишется как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Разделяем переменные и учитывая, что <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= const, m = const получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Подставляем это значение vxbo второе уравнение (13.2.4)

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Снова разделяем переменные и интегрируем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Получаем общее решение

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Используем начальные условия (13.2.8) и из (13.2.10) находим, что <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, а из (13.2.11), что <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Подставляем значения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
в (13.2.11) и частное решение будет следующим

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Пусть точка движется под действием системы сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Введем неподвижную систему отсчета Oxyz (рис. 71 Рис. 71)

Проектируем уравнение движения (13.1.13) на оси координат

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Это и есть дифференциальные уравнения криволинейного движения точки в проекциях на оси координат.

Эти уравнения позволяют решать как первую так и вторую (основную) задачи динамики.

Чтобы решить основную задачу динамики надо задать начальные условия, то есть положение и скорость точки в начальный момент в системе Oxyz:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Проинтегрировав уравнения движения (13.3.1), получим координаты х, у, z движущейся точки как функции времени. Решения содержат шесть постоянных <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, которые находят по начальным условиям (13.3.2).

В качестве примера криволинейного движения рассмотрим движение точки брошенной под углом к горизонту в однородном поле тяжести.

Пусть дана точка массы т выброшенная из начала координат О с начальной скоростью <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, под углом <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
к горизонту (рис. 72 Рис. 72)

Пусть сила тяжести будет постоянной Р = const и сила сопротивления воздуха равна нулю <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 0 . На точку действует лишь сила тяжести. Выпишем ее проекции на оси координат:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Подставляя эти значения в уравнения движения получаем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

или через первые производные

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Разделяя переменные и, интегрируя, имеем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Распишем начальные условия (13.3.2) для нашего случая:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Используя их, из (13.3.4) получаем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Подставляя вычисленные значения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
в (13.3.4) запишем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Разделяя переменные и интегрируя еще один раз имеем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Используя начальные условия (13.3.5) найдем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Окончательно уравнения движения запишутся как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Имея уравнения движения, можно рассмотреть основные характеристики данного движения:

1. Траектория. Исключив из уравнений (13.3.10) параметр t, получим уравнение траектории

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

впервые установленную Галилеем (парабола).

2. Горизонтальная дальность: Ордината у равна нулю в двух случаях, при начальном вылете и при касании земли в момент падения. Итак, у = 0, и из уравнения (13.3.11) получаем два корня:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Траектория называется: настильной если <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
; навесной, если <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Наибольшая дальность S будет при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, когда <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Мы положили <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, и не рассматриваем движение тела в сопротивляющейся среде.

3. Высота траектории. Так как парабола (13.3.11) имеет симметричные ветви, то ее вершина будет иметь абсциссу

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

4. Время полета. При <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, из (13.3.10) получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

13.4.1

Материальная точка массой 1.4 кг движется прямолинейно по закону <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к точке. (16,8)

13.4.2

Материальная точка массой m = 10 кг движется по оси Ох согласно уравнению х = 5sin0,2t. Определить модуль равнодействующей сил, действующих на точку в момент времени t = 7 с. (1,97)

13.4.3

Тело М массой 2 кг движется прямолинейно по закону х = 10sin2t под действием силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Найти наибольшее значение этой силы Задача 13.4.3. (80)

13.4.4

Материальная точка массой m = 5 кг движется под действием сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 3H и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 10Н. Определить проекцию ускорения точки на ось Ох Задача 13.4.4. (1.13)

13.4.5

Тело движется вниз по наклонной шероховатой плоскости, которая образует с горизонтом угол 40<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить ускорение тела, если коэффициент трения скольжения f = 0,3. (4,05)

13.4.6

Материальная точка движется по криволинейной траектории под действием силы, тангенциальная составляющая которой <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, а нормальная составляющая <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 8Н. Определить массу точки, если в момент времени t = 10 с ее ускорение а = 0,7 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. (30,8)

13.4.7

Материальная точка массой m = 5 кг движется по криволинейной траектории под действием силы, проекция которой на касательную <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 7 Н, на нормаль <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить модуль ускорения точки в момент времени t = 12 с. (3.20)

© Центр дистанционного образования МГУП