Московский государственный университет печати

Силенко П.Н.


         

Теоретическая механика

Конспект лекций для студентов вузов, обучающихся по специальности 170800 "Полиграфические машины и автоматизированные комплексы"


Силенко П.Н.
Теоретическая механика
Начало
Печатный оригинал
Об электронном издании
Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

1.

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1.

Предмет статики

1.2.

Сила

1.3.

Аксиомы статики

1.4.

Связи и их реакции. Аксиома связей

2.

Глава 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

2.1.

Проекция силы на ось и на плоскость

2.2.

Аналитически способ задания и сложения сил

2.3.

Геометрический способ сложения сил

2.4.

Теорема о трех силах

2.5.

Равнодействующая сходящихся сил и условие их равновесия

2.6.

Момент силы относительно центра

2.7.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

2.8.

Задачи

3.

Глава 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ И ПАРЫ СИЛ

3.1.

Сложение и разложение параллельных сил

3.2.

Пара сил. Момент пары

3.3.

Сложение пар. Условия равновесия пар

3.4.

Задачи

4.

Глава 4. СИСТЕМА СИЛ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННАЯ НА ПЛОСКОСТИ

4.1.

Теорема о параллельном переносе силы

4.2.

Приведение плоской системы сил к данному центру (простейшему виду)

4.3.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил

4.4.

Задачи

5.

ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ СИЛ И ПАР ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

5.1.

Момент силы как вектор. Моменты силы относительно центра и оси

5.2.

Приведение пространственной системы к данному центру (простейшему виду)

5.3.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

5.4.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси

5.5.

Задачи

6.

Глава 6. ТРЕНИЕ

6.1.

Законы трения скольжения

6.2.

Реакции шероховатых связей

6.3.

Равновесие при наличии трения

6.4.

Другие виды трения

6.5.

Задачи

7.

Глава 7. СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

7.1.

Центр параллельных сил

7.2.

Центр тяжести

7.3.

Координаты центров тяжести однородных тел

7.4.

Задачи

8.

КИНЕМАТИКА
Глава 8. ВВЕДЕНИЕ. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

8.1.

Предмет кинематики

8.2.

Способы задания движения точки

8.3.

Скорость точки

8.4.

Ускорение точки

8.5.

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

8.6.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

8.7.

Частные случаи движения точки

8.8.

Задачи

9.

Глава 9. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

9.1.

Поступательное движение

9.2.

Вращательное движение твердого тела

9.3.

Скорость и ускорение точек вращающегося тела

9.4.

Задачи

10.

Глава 10. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

10.1.

Уравнения движения

10.2.

Скорости точек тела. Мгновенный центр скоростей

10.3.

Ускорения точек тела. Мгновенный центр ускорений

10.4.

Задачи

11.

Глава 11. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

11.1.

Относительное, переносное и абсолютное движения

11.2.

Сложение скоростей

11.3.

Сложение ускорений

11.4.

Задачи

12.

Глава 12. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

12.1.

Сложение поступательных движений

12.2.

Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

12.3.

Задачи

13.

ДИНАМИКА
Глава 13. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ТОЧКИ

13.1.

Предмет динамики и законы динамики

13.2.

Дифференциальные уравнения движения точки

13.3.

Криволинейное движение точки

13.4.

Задачи

14.

Глава 14. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

14.1.

Теорема об изменении количества движения точки

14.2.

Работа сил

14.3.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

14.4.

Теорема моментов для точки

14.5.

Задачи

15.

Глава 15. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

15.1.

Основные понятия

15.2.

Центр масс системы

15.3.

Моменты инерции тела и Теорема Гюйгенса

15.4.

Задачи

16.

Глава 16. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

16.1.

Дифференциальные уравнения движения системы

16.2.

Теорема о движении центра масс системы

16.3.

Закон сохранения движения центра масс системы

16.4.

Задачи

17.

Глава 17. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

17.1.

Теорема об изменении количества движения системы

17.2.

Закон сохранения количества движения

17.3.

Задачи

18.

Глава 18. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

18.1.

Главный момент количеств движения системы

18.2.

Теорема моментов для системы

18.3.

Закон сохранения главного момента количеств движения системы

18.4.

Задачи

19.

Глава 19. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

19.1.

Кинетическая энергия системы. Работа. Мощность

19.2.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

19.3.

Потенциальная энергия

19.4.

Закон сохранения механической энергии

19.5.

Задачи

20.

Глава 20. ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

20.1.

Принцип Даламбера

20.2.

Принцип возможных перемещений

20.3.

Общее уравнение динамики

20.4.

Задачи

21.

Глава 21. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

21.1.

Обобщенные координаты и скорости

21.2.

Обобщенные силы

21.3.

Уравнения Лагранжа

21.4.

Задачи

Указатели
199   указатель иллюстраций
Рис. 73 Рис. 74 Задача 14.6.3 Задача 14.6.4 Задача 14.6.5 Задача 14.6.6 Задача 14.6.8 Задача 14.6.9

В предыдущей главе, мы рассматривали дифференциальные уравнения движения точки и некоторые результаты их интегрирования, то есть получения уравнений движения типа <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Более чем трехсотлетний опыт интегрирования дифференциальных уравнений движения скопился в так называемых общих теоремах динамики.

В динамике, часто вместо основного закона, удобно пользоваться его следствиями. Следствия сформулированы в виде общих теорем. Они позволяют установить наглядную зависимость между основными динамическими характеристиками, изучать части процесса не затрагивая целого, избавляют от интегрирования, так как сами теоремы результат интегрирования в конкретных случаях.

1 . Количество движения, импульс силы и кинетическая энергия.

Векторная величина <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
равная произведению массы точки на вектор ее скорости называется количеством движения точки. Направлен вектор <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
так же, как и скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
точки.

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией точки.

Элементарным импульсом силы называется векторная величина <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, равная произведению вектора силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
на элементарный промежуток времени.

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Тогда импульс силы за конечный промежуток времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

а если сила постоянна по модулю и направлению, то

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Через проекции на оси координат импульс выражается как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Выберем основной закон движения в форме (13.2.4)

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Так как масса т = const, то ее можно внести под знак дифференциала и уравнение (14.2.1) переписать как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Производная от количества движения по времени равна геометрической сумме действующих на точку сил.

Если точка массы m движется под действием силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, и в момент времени t = 0 имеет скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, а в момент времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и интегрируя получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Подставляем в правую часть соотношение (14.1.4):

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

Уравнение (14.2.4) представляет собой теорему об изменении количества движения точки (рис. 73 Рис. 73)

В проекциях на оси координат уравнение (14.2.4) запишется:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Работа является одной из основных характеристик действия оказываемого силой на материальную точку.

Элементарной работой силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
называется скалярная величина

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- проекция силы на касательную к траектории, a ds - бесконечно малое перемещение вдоль касательной (рис. 74 Рис. 74)

При таком определении работа характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки (тела).

Так как <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение ds и косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.

Работа положительна если угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
острый и отрицательна если тупой. При <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
работа равна нулю.

Если рассматривать элементарную работу в прямоугольной системе координат, то

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

так как проекции и перемещения лежат каждые на своих осях.

Работа силы на любом перемещении <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Мощностью называется величина, определяющая работу совершаемую силой за единицу времени. Если работе совершается равномерно, то <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. В общем случае: <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Пусть точка с массой m в начальный момент t = 0 находится в положении <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и имеет скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, а в момент <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, в положении <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и имеет скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Выберем систему координат <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и спроектируем основное уравнение (13.2.2) на касательную (рис. 74)

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

то уравнение (14.4.1) можно переписать в форме (13.2.5):

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Это теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.

Проинтегрировав уравнение (14.4.5), получим туже теорему в конечном виде:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Изменение кинетической энергии точки при перемещении равно алгебраической сумме работ сил на том же перемещении.

Теорема моментов имеет более полное наименование как теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Данная теорема возникла из очень простых и логичных соображений.

Количество движения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(уравнение 14.1.1) является векторной величиной. Следовательно, как и всякий вектор, может иметь момент относительно какого-либо центра или оси. Обозначается как <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и называется моментом количества движения точки или кинетическим моментом.

По модулю он равен

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где h - длина перпендикуляра, опущенного из центра О на линию действия вектора <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Рассмотрим теорему моментов относительно оси Oz. Пусть материальная точка массы m движется по траектории под действием силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, со скоростью <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. К точке приложены два вектора <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, каждый из которых создает свой момент.

Для вектора <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
из уравнения (5.1.7) запишем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Аналогично для вектора <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
запишем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Дифференцируя это соотношение по времени, получим:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Первая скобка справа равна нулю в силу второго уравнения (13.2.4). Вторая, в силу первого уравнения (13.2.4) в точности совпадает с уравнением (14.5.2).

Окончательно

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Производная по времени от момента количества движения точки относительно какой-либо оси равна моменту действующей силы относительно той же оси.

Данная теорема относительно произвольного центра запишется как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

14.6.1

Постоянная по модулю и направлению сила действует на тело в течение 10 с. Найти модуль ее импульса за это время, если проекции силы на оси координат <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 3 Н, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 4 Н. (50)

14.6.2

Материальная точка массой т = 1 кг движется по прямой с постоянным ускорением а = 5 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить импульс равнодействующей приложенных к точке сил за промежуток времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. (10)

14.6.3

Материальная точка М массой 1 кг движется по прямой под действием постоянной силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Скорость точки за промежуток времени <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, изменилась от <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 2 м/с до v = 5 м/с. Определить модуль силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Задача 14.6.3 (1)

14.6.4

Материальная точка М движется по вертикали под действием только силы тяжести. Определить, через какое время эта точка достигнет максимальной высоты, если ее начальная скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 9,81 м/с Задача 14.6.4. (1)

14.6.5

На тело действует постоянная по направлению сила <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить работу этой силы при перемещении тела из положения с координатой х = 0 в положение с координатой х = 1 м Задача 14.6.5. (0,866)

14.6.6

Материальная точка М массой m движется прямолинейно по горизонтальной плоскости по закону <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
под действием силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить работу этой силы при перемещении ее точки приложения из начального положения, где s = 0, в положение, где s = 4 м Задача 14.6.6. (64)

14.6.7

Свободное падение материальной точки массой m начинается из состояния покоя. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить путь, пройденный точкой к моменту времени, когда она имеет скорость 3 м/с. (0,459)

14.6.8

Материальная точка массой m = 0,5 кг брошена с поверхности Земли с начальной скоростью <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 20 м/с и в положении М имеет скорость v = 12 м/с. Определить работу силы тяжести при перемещении точки из положения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
в положение М Задача 14.6.8. ( -64)

14.6.9

Материальная точка массой m брошена с поверхности Земли под углом <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
к горизонту с начальной скоростью <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 30 м/с. Определить наибольшую высоту h подъема точки Задача 14.6.9. (34.4)

14.6.10

Тело массой m = 2 кг от толчка поднимается по наклонной плоскости с начальной скоростью <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 2 м/с. Определить работу силы тяжести на пути, пройденном телом до остановки. (- 4)

© Центр дистанционного образования МГУП