Московский государственный университет печати

Силенко П.Н.


         

Теоретическая механика

Конспект лекций для студентов вузов, обучающихся по специальности 170800 "Полиграфические машины и автоматизированные комплексы"


Силенко П.Н.
Теоретическая механика
Начало
Печатный оригинал
Об электронном издании
Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

1.

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1.

Предмет статики

1.2.

Сила

1.3.

Аксиомы статики

1.4.

Связи и их реакции. Аксиома связей

2.

Глава 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

2.1.

Проекция силы на ось и на плоскость

2.2.

Аналитически способ задания и сложения сил

2.3.

Геометрический способ сложения сил

2.4.

Теорема о трех силах

2.5.

Равнодействующая сходящихся сил и условие их равновесия

2.6.

Момент силы относительно центра

2.7.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

2.8.

Задачи

3.

Глава 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ И ПАРЫ СИЛ

3.1.

Сложение и разложение параллельных сил

3.2.

Пара сил. Момент пары

3.3.

Сложение пар. Условия равновесия пар

3.4.

Задачи

4.

Глава 4. СИСТЕМА СИЛ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННАЯ НА ПЛОСКОСТИ

4.1.

Теорема о параллельном переносе силы

4.2.

Приведение плоской системы сил к данному центру (простейшему виду)

4.3.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил

4.4.

Задачи

5.

ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ СИЛ И ПАР ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

5.1.

Момент силы как вектор. Моменты силы относительно центра и оси

5.2.

Приведение пространственной системы к данному центру (простейшему виду)

5.3.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

5.4.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси

5.5.

Задачи

6.

Глава 6. ТРЕНИЕ

6.1.

Законы трения скольжения

6.2.

Реакции шероховатых связей

6.3.

Равновесие при наличии трения

6.4.

Другие виды трения

6.5.

Задачи

7.

Глава 7. СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

7.1.

Центр параллельных сил

7.2.

Центр тяжести

7.3.

Координаты центров тяжести однородных тел

7.4.

Задачи

8.

КИНЕМАТИКА
Глава 8. ВВЕДЕНИЕ. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

8.1.

Предмет кинематики

8.2.

Способы задания движения точки

8.3.

Скорость точки

8.4.

Ускорение точки

8.5.

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

8.6.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

8.7.

Частные случаи движения точки

8.8.

Задачи

9.

Глава 9. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

9.1.

Поступательное движение

9.2.

Вращательное движение твердого тела

9.3.

Скорость и ускорение точек вращающегося тела

9.4.

Задачи

10.

Глава 10. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

10.1.

Уравнения движения

10.2.

Скорости точек тела. Мгновенный центр скоростей

10.3.

Ускорения точек тела. Мгновенный центр ускорений

10.4.

Задачи

11.

Глава 11. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

11.1.

Относительное, переносное и абсолютное движения

11.2.

Сложение скоростей

11.3.

Сложение ускорений

11.4.

Задачи

12.

Глава 12. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

12.1.

Сложение поступательных движений

12.2.

Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

12.3.

Задачи

13.

ДИНАМИКА
Глава 13. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ТОЧКИ

13.1.

Предмет динамики и законы динамики

13.2.

Дифференциальные уравнения движения точки

13.3.

Криволинейное движение точки

13.4.

Задачи

14.

Глава 14. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

14.1.

Теорема об изменении количества движения точки

14.2.

Работа сил

14.3.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

14.4.

Теорема моментов для точки

14.5.

Задачи

15.

Глава 15. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

15.1.

Основные понятия

15.2.

Центр масс системы

15.3.

Моменты инерции тела и Теорема Гюйгенса

15.4.

Задачи

16.

Глава 16. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

16.1.

Дифференциальные уравнения движения системы

16.2.

Теорема о движении центра масс системы

16.3.

Закон сохранения движения центра масс системы

16.4.

Задачи

17.

Глава 17. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

17.1.

Теорема об изменении количества движения системы

17.2.

Закон сохранения количества движения

17.3.

Задачи

18.

Глава 18. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

18.1.

Главный момент количеств движения системы

18.2.

Теорема моментов для системы

18.3.

Закон сохранения главного момента количеств движения системы

18.4.

Задачи

19.

Глава 19. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

19.1.

Кинетическая энергия системы. Работа. Мощность

19.2.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

19.3.

Потенциальная энергия

19.4.

Закон сохранения механической энергии

19.5.

Задачи

20.

Глава 20. ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

20.1.

Принцип Даламбера

20.2.

Принцип возможных перемещений

20.3.

Общее уравнение динамики

20.4.

Задачи

21.

Глава 21. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

21.1.

Обобщенные координаты и скорости

21.2.

Обобщенные силы

21.3.

Уравнения Лагранжа

21.4.

Задачи

Указатели
199   указатель иллюстраций
Задача 19.5.1 Задача 19.5.2 Задача 19.5.3 Задача 19.5.4 Задача 19.5.5 Задача 19.5.6 Задача 19.5.7

Скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы, называется кинетической энергией системы.

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Кинетическая энергия является характеристикой поступательного и вращательного движения системы. На ее изменение влияет действие внешних сил и так как она является скаляром, то не зависит от направления движения частей системы.

Найдем кинетическую энергию при различных случаях движения:

1. Поступательное движение

Скорости всех точек системы равны скорости центра масс <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Тогда

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Кинетическая энергия системы при поступательном движении равна половине произведения массы системы на квадрат скорости центра масс.

2. Вращательное движение (рис. 77)

Скорость любой точки тела: <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Тогда

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

или используя формулу (15.3.1):

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Кинетическая энергия тела при вращении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3. Плоскопараллельное движение

При данном движении кинетическая энергия складывается из энергии поступательного и вращательных движений

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Общий случай движения дает формулу, для вычисления кинетической энергии, аналогичную последней.

Определение работы и мощности мы сделали в параграфе 3 главы 14. Здесь же мы рассмотрим примеры вычисления работы и мощности сил действующих на механическую систему.

1. Работа сил тяжести. Пусть <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, координаты начального и конечного положения точки k тела. Работа силы тяжести действующих на эту частицу веса <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
будет <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Тогда полная работа:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где Р - вес системы материальных точек, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- вертикальное перемещение центра тяжести С.

2. Работа сил, приложенных к вращающемуся телу.

Согласно соотношению (14.3.1) можно записать <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, но ds согласно рисунку 74, в силу бесконечной малости можно представить в виде <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- бесконечно малый угол поворота тела. Тогда

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Величина <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
называется вращающим моментом.

Формулу (19.1.6) перепишем как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Элементарная работа равна произведению вращательного момента на элементарный поворот <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

При повороте на конечный угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
имеем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Если вращательный момент постоянен <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

а мощность определим из соотношения (14.3.5)

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

как произведение вращающего момента на угловую скорость тела.

Теорема об изменении кинетической энергии доказанная для точки (§ 14.4) будет справедлива для любой точки системы

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

или, согласно (19.1.1):

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

что является выражением теоремы о кинетической энергии системы в дифференциальной форме.

Проинтегрировав (19.2.2) получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

- теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее конечном перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Подчеркнем, что внутренние силы не исключаются. Для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Если связи, наложенные на систему, не изменяются со временем, то силы, как внешние так и внутренние, можно разделить на активные и реакции связей, и уравнение (19.2.2) теперь можно записать:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

В динамике вводится такое понятие как "идеальная" механическая система. Это такая система, наличие связей у которой не влияет на изменение кинетической энергии, то есть

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Такие связи, не изменяющиеся со временем и сумма работ которых на элементарном перемещении равна нулю, называются идеальными, и уравнение (19.2.5) запишется:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Потенциальной энергией материальной точки в данном положении М называется скалярная величина П, равная той работе, которую произведут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое

П = А (мо) (19.3.1)

Потенциальная энергия зависит от положения точки М, то есть от ее координат

П = П(х,у,z) (19.3.2)

Поясним здесь, что силовым полем называется часть пространственного объема, в каждой точке которого на частицу действует определенная по модулю и направлению сила, зависящая от положения частицы, то есть от координат х, у, z. Например, поле тяготения Земли.

Функция U от координат, дифференциал которой равен работе, называется силовой функцией. Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем, а силы действующие в этом поле, - потенциальными силами.

Пусть нулевые точки для двух силовых функций П(х,у,z) и U(x,y,z) совпадают.

По формуле (14.3.5) получаем <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, т.е. dA = dU(x,y,z) и

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где U - значение силовой функции в точке М. Отсюда

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

Потенциальная энергия в любой точке силового поля равна значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.

То есть, при рассмотрении свойств силового поля вместо силовой функции можно рассматривать потенциальную энергию и, в частности, уравнение (19.3.3) перепишется как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном положении.

В частности работа силы тяжести:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Пусть все силы, действующие на систему, будут потенциальными. Тогда для каждой точки k системы работа равна

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Тогда для всех сил, как внешних, так и внутренних будет

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- потенциальная энергия всей системы.

Подставляем эти суммы в выражение для кинетической энергии (19.2.3):

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

или окончательно:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

При движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергии системы в каждом ее положении остается величиной постоянной. Это закон сохранения механической энергии.

19.5.1

Груз массой 1 кг совершает свободные колебания согласно закону х = 0,1sinl0t. Коэффициент жесткости пружины с = 100 Н/м. Определить полную механическую энергию груза при х = 0,05м, если при х= 0 потенциальная энергия равна нулю Задача 19.5.1. (0,5)

19.5.2

Груз массой m = 4 кг, опускаясь вниз, приводит с помощью нити во вращение цилиндр радиуса R = 0,4 м. Момент инерции цилиндра относительно оси вращения I = 0,2 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить кинетическую энергию системы тел в момент времени, когда скорость груза v = 2м/с Задача 19.5.2. (10,5)

19.5.3

Кривошип 1, вращаясь с угловой скоростью<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 10 рад/с, приводит в движение колесо 2 массой 1 кг, которое можно считать однородным диском. Момент инерции кривошипа относительно оси вращения равен 0,1 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить кинетическую энергию механизма, если радиус R = 3r = 0,6 м Задача 19.5.3. (17)

19.5.4

Грузы 1 и 2 массой m1 = 2 кг и m2 = 1 кг подвешены к концам гибкой нити, перекинутой через блок. Определить скорость груза 1 в момент времени, когда он опустился на высоту h = 3 м. Движение грузов начинается из состояния покоя Задача 19.5.4. (4,43)

19.5.5

Грузы 1 и 2 одинаковой массы т, соединенные между собой гибкой нитью, движутся по горизонтальной плоскости, имея начальную скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 2 м/с. Определить коэффициент трения скольжения, если тела останавливаются, пройдя путь, равный 4 м Задача 19.5.5. <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

19.5.6

Одинаковые зубчатые колеса 1 и 2 массой 2 кг каждый приводятся в движение из состояния покоя постоянным моментом пары сил М = 1 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить угловую скорость колес после двух оборотов, если радиус инерции каждого из колес относительно оси вращения равен 0,2 м Задача 19.5.6. (12,5)

19.5.7

Ременная передача начинает движение из состояния покоя под действием постоянного момента пары сил М = 2,5 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Моменты инерции шкивов относительно их осей вращения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить угловую скорость шкива 1 после трех оборотов, если радиусы шкивов <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Задача 19.5.7. (11,2)

© Центр дистанционного образования МГУП