Московский государственный университет печати

Силенко П.Н.


         

Теоретическая механика

Конспект лекций для студентов вузов, обучающихся по специальности 170800 "Полиграфические машины и автоматизированные комплексы"


Силенко П.Н.
Теоретическая механика
Начало
Печатный оригинал
Об электронном издании
Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

1.

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1.

Предмет статики

1.2.

Сила

1.3.

Аксиомы статики

1.4.

Связи и их реакции. Аксиома связей

2.

Глава 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

2.1.

Проекция силы на ось и на плоскость

2.2.

Аналитически способ задания и сложения сил

2.3.

Геометрический способ сложения сил

2.4.

Теорема о трех силах

2.5.

Равнодействующая сходящихся сил и условие их равновесия

2.6.

Момент силы относительно центра

2.7.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

2.8.

Задачи

3.

Глава 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ И ПАРЫ СИЛ

3.1.

Сложение и разложение параллельных сил

3.2.

Пара сил. Момент пары

3.3.

Сложение пар. Условия равновесия пар

3.4.

Задачи

4.

Глава 4. СИСТЕМА СИЛ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННАЯ НА ПЛОСКОСТИ

4.1.

Теорема о параллельном переносе силы

4.2.

Приведение плоской системы сил к данному центру (простейшему виду)

4.3.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил

4.4.

Задачи

5.

ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ СИЛ И ПАР ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

5.1.

Момент силы как вектор. Моменты силы относительно центра и оси

5.2.

Приведение пространственной системы к данному центру (простейшему виду)

5.3.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

5.4.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси

5.5.

Задачи

6.

Глава 6. ТРЕНИЕ

6.1.

Законы трения скольжения

6.2.

Реакции шероховатых связей

6.3.

Равновесие при наличии трения

6.4.

Другие виды трения

6.5.

Задачи

7.

Глава 7. СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

7.1.

Центр параллельных сил

7.2.

Центр тяжести

7.3.

Координаты центров тяжести однородных тел

7.4.

Задачи

8.

КИНЕМАТИКА
Глава 8. ВВЕДЕНИЕ. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

8.1.

Предмет кинематики

8.2.

Способы задания движения точки

8.3.

Скорость точки

8.4.

Ускорение точки

8.5.

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

8.6.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

8.7.

Частные случаи движения точки

8.8.

Задачи

9.

Глава 9. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

9.1.

Поступательное движение

9.2.

Вращательное движение твердого тела

9.3.

Скорость и ускорение точек вращающегося тела

9.4.

Задачи

10.

Глава 10. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

10.1.

Уравнения движения

10.2.

Скорости точек тела. Мгновенный центр скоростей

10.3.

Ускорения точек тела. Мгновенный центр ускорений

10.4.

Задачи

11.

Глава 11. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

11.1.

Относительное, переносное и абсолютное движения

11.2.

Сложение скоростей

11.3.

Сложение ускорений

11.4.

Задачи

12.

Глава 12. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

12.1.

Сложение поступательных движений

12.2.

Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

12.3.

Задачи

13.

ДИНАМИКА
Глава 13. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ТОЧКИ

13.1.

Предмет динамики и законы динамики

13.2.

Дифференциальные уравнения движения точки

13.3.

Криволинейное движение точки

13.4.

Задачи

14.

Глава 14. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

14.1.

Теорема об изменении количества движения точки

14.2.

Работа сил

14.3.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

14.4.

Теорема моментов для точки

14.5.

Задачи

15.

Глава 15. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

15.1.

Основные понятия

15.2.

Центр масс системы

15.3.

Моменты инерции тела и Теорема Гюйгенса

15.4.

Задачи

16.

Глава 16. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

16.1.

Дифференциальные уравнения движения системы

16.2.

Теорема о движении центра масс системы

16.3.

Закон сохранения движения центра масс системы

16.4.

Задачи

17.

Глава 17. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

17.1.

Теорема об изменении количества движения системы

17.2.

Закон сохранения количества движения

17.3.

Задачи

18.

Глава 18. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

18.1.

Главный момент количеств движения системы

18.2.

Теорема моментов для системы

18.3.

Закон сохранения главного момента количеств движения системы

18.4.

Задачи

19.

Глава 19. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

19.1.

Кинетическая энергия системы. Работа. Мощность

19.2.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

19.3.

Потенциальная энергия

19.4.

Закон сохранения механической энергии

19.5.

Задачи

20.

Глава 20. ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

20.1.

Принцип Даламбера

20.2.

Принцип возможных перемещений

20.3.

Общее уравнение динамики

20.4.

Задачи

21.

Глава 21. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

21.1.

Обобщенные координаты и скорости

21.2.

Обобщенные силы

21.3.

Уравнения Лагранжа

21.4.

Задачи

Указатели
199   указатель иллюстраций
Задача 21.4.1 Задача 21.4.2 Задача 21.4.4 Задача 21.4.5 Задача 21.4.6 Задача 21.4.7 Задача 21.4.8 Задача 21.4.9 Задача 21.4.10 Задача 21.4.12

В предыдущих главах мы не оговаривали число координат, определяющих положение системы материальных точек, мы просто вводили, например прямоугольную систему координат Oxyz или какую-либо другую.

В общем случае, число параметров (координат) будет зависеть как от числа точек входящих в систему, так и от характера наложенных связей.

Если не рассматривать связи, наложенные на скорость, а наложенные только на положение системы в пространстве, то говорят, что остались только геометрические связи. Если связь допускает возможное перемещение, то точка по этой связи свободна. Числом степеней свободы системы называется число независимых между собой возможных перемещений системы.

Число независимых координат, определяющих положение системы в геометрическими связями, равно числу степеней свободы этой системы.

В качестве таких координат можно выбрать любые параметры, с любой размерностью, с любым геометрическим смыслом (углы, площади, объемы и т.д.).

Такие независимые между собой параметры называются обобщенными координатами. Обозначаются буквой q.

Так как свободная точка (именно точка) имеет при степени свободы, то система из n точек будет иметь, в силу k связей

S = 3n - k (21.1.1)

степеней свободы и ее будут описывать S независимых обобщенных координат

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

В силу независимости обобщенных координат, независимыми будут и возможные перемещения вдоль них: <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

При переходе из одной системы координат в другую мы выражаем одни координаты через другие. Это возможно и при переходе к обобщенной системе координат.

Если вспомнить координатный способ задания движения точки [§ 8.2; уравнение (8.2.2)], то можно сказать, что теперь уже обобщенные координаты движущейся системы будут изменяться со временем, то есть:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Эти уравнения называются уравнениями движения системы в обобщенных координатах.

Если взять производные от обобщенных координат по времени, то получим обобщенные скорости:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты:

q - линейная величина, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- линейная скорость;

q - угол, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- угловая скорость;

q - площадь, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- секторная скорость и т.д.

Рассматривая координаты и скорости в обобщенном виде нeльзя не остановиться на таком понятии как обобщенная сила.

Пусть дана механическая система из n материальных точек массами <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. На систему точек действует система сил <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Если система имеет s степеней свободы, то ее положение определяется S обобщенными координатами (21.1.2) , и существует S независимых возможных перемещений <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(где к = 1,2, .., S).

Дадим обобщенной координате q1 бесконечно малое приращение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, не изменяя остальные обобщенные координаты. Тогда точки системы получат возможные перемещения, а каждый из радиус-векторов <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
получит приращение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Сумма элементарных работ на этом первом перемещении <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, если учесть что <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, запишется

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Вынесем за скобки общий множитель dq1 и обозначим

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

помня, что точка обозначает скалярное произведение двух векторов. Тогда получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Выпишем соотношение (14.3.1) определяющее, элементарную работу силы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
на перемещении dS:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

По аналогии, величину Q1 называют обобщенной силой совершающей работу <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
на возможном перемещении <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Теперь, задавая второй обобщенной координате q2 возможное перемещение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(оставляя остальные координаты неизменными) и рассуждая так же как и в первом случае, получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Действуя аналогичным образом мы получим S уравнений типа (21.2.4). В случае, если мы сообщим системе одно возможное перемещение, но такое, что все обобщенные координаты изменятся, то сумму работ можно записать как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Обобщенные силы это коэффициенты при вариациях обобщенных координат при нахождении полной элементарной работы действующих на систему сил.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

и равна размерности работы, деленной на размерность координаты.

Если силы действующие на систему потенциальны, то существует силовая функция <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, такая что

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Тогда

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Сравнивая с уравнением (21.2.7), получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

или через потенциальную энергию:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Определив обобщенные силы, скажем несколько слов об условиях равновесия системы материальных точек (тел) под действием этих сил.

Для равновесия механической системы, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие (20.2.6):

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

При переходе к обобщенным координата это условие переходит в условие равенства нулю соотношения (21.2.7):

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Так как все <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
независимы, то это соотношение распадается на S равенств:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Для равновесия системы материальных точек необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы приложенные к системе были равны нулю.

Число условий равновесия (21.2.12) равно числу степеней свободы или числу обобщенных координат.

В случае потенциальных сил условия (21.2.12) дают:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

To есть, полный дифференциал функций П или U должен быть равен нулю:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Равновесие системы возможно только при минимуме или максимуме этих функций.

Запишем общее уравнение динамики (20.3.1):

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

для механической системы из n точек с S степенями свободы в обобщенных координатах (21.1.2).

Тогда для первого слагаемого из формулы (21.2.7) имеем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

По аналогии и для сил инерции запишем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где обобщенные силы инерции обозначены как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Подставляем (21.3.2) и (21.3.3) в (21.3.1) и получаем

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

т.е. полную аналогию уравнения (21.2.11).

Так как все <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
независимы, то уравнение (21.3.5) будет равно нулю если коэффициенты при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
будут равны нулю:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Мы получили те же условия равновесия системы, что и (21.2.12), но с учетом обобщенных сил инерции, согласно принципу Даламбера.

Уравнения (21.3.6) можно применять в практически любых задачах динамики, но это делать достаточно сложно. Лагранж упростил этот процесс, выразив обобщенные силы инерции через кинетическую энергию.

Следуя ему, преобразуем <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

Так как для любой точки k системы

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

то из первого соотношения (21.3.4) получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Задача перехода к кинетической энергии сводится к преобразованию правой части (21.3.7). Запишем скалярное произведение производных как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Введем традиционные обозначения, когда точка над величиной обозначает производную по времени:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

то есть, действительную и обобщенную скорость.

Принимая к сведению, переместительность операций дифференцирования по t и q1, запишем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

а так же то, что

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

соотношение (21.3.8) представим как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Подставляя соотношение (21.3.12) в (21.3.8) получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Для всех обобщенных сил инерции результаты аналогичны (21.3.13). Подставляя значения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
в условия (21.3.6) получаем:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Уравнения Лагранжа или дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах. Их число равняется числу обобщенных координат или числу степеней свободы.

Уравнения (21.3.15) удобнее записывать как единое уравнение

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где к = 1, 2, 3,..., S.

В случае потенциальных сил Qк будет представлена соотношениями (21.2.10) и (21.3.16) можно переписать как

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

или вводя функцию Лагранжа L = Т - П:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

21.4.1

Призма 1 может свободно двигаться по горизонтальной плоскости. Тела 2 и 3 связаны между собой пружиной и могут перемещаться относительно призмы. Предполагая, что движение системы происходит в плоскости рисунка, определить число обобщенных координат Задача 21.4.1. (3)

21.4.2

Механизм состоит из вертикальной оси 1 , горизонтального стержня 2 и колеса 3. Определить число обобщенных координат колеса 3 Задача 21.4.2. (4)

21.4.3

Потенциальная энергия механической системы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- в рад. Определить обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате, в момент времени, когда угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
=90<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. ( -47,1)

21.4.4

Однородный стержень длиной l = 3 м и массой m = 30 кг вращается в вертикальной плоскости. Определить обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, в момент времени, когда угол <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Задача 21.4.4. (-312)

21.4.5

Определить обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, если заданы массы тел <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Задача 21.4.5 (0)

21.4.6

Определить обобщенную силу, соответствующую координате х1, если заданы массы тел <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Задача 21.4.6. (0)

21.4.7

В некоторый момент времени обобщенная координата ф = 3 рад, а обобщенная скорость <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 2 рад/с. Определить при этом модуль кинетического потенциала механической системы, если известно, что кинетическая энергия системы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, а потенциальная энергия <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Задача 21.4.7. (22)

21.4.8

Тело массой m = 20 кг скользит по гладкой поверхности вниз. Определить кинетический потенциал тела в момент времени, когда координата тела s = 2 м и скорость v = 3 м/с. Принять потенциальную энергию тела П0, равную нулю, в положении, когда координата s = 0 Задача 21.4.8. (-75,8)

Уравнение Лагранжа второго рода для систем с несколькими степенями свободы

21.4.9

Кинетическая энергия системы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Из дифференциального уравнения движения системы, соответствующего обобщенной координате х2 определить ускорение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
в момент времени, когда ускорение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, а обобщенная сила <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Задача 21.4.9. (2,5)

21.4.10

На тело, которое находится в плоскопараллельном движении, действует система сил, главный вектор которой <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и главный момент Мс = 4 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить ускорение у точки С тела, если его кинетическая энергия <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Задача 21.4.10. (0,5)

Уравнение Лагранжа второго рода для систем с одной степенью свободы
21.4.11

Кинетическая энергия механической системы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, обобщенная сила <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- обобщенная координата, рад. Определить угловое ускорение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
в момент времени, когда <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
= 8 рад. (0,5)

21.4.12

Механизм движется в вертикальной плоскости. Кинетическая энергия <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, обобщенная сила, соответствующая координате <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, равна <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Определить момент М пары сил, приложенной к кривошипу ОА, когда угловое ускорение <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Задача 21.4.12. (13.7)

© Центр дистанционного образования МГУП